Частичные квадратные конфигурации · 3.3

Маски 6/9: шестнадцать позиционных типов

Шесть выбранных клеток магического квадрата задают три независимых квадратичных условия. С точностью до вращений и отражений существует шестнадцать способов расположить эти клетки; два из них состоят из параллельных прогрессий квадратов и приводят к методу tfmn.

1. Что означает 6/9

Пусть S — множество из шести позиций обычного магического квадрата 3×3. Конфигурацией 6/9 с маской S называется магический квадрат, в котором значения всех клеток S являются рациональными или целыми квадратами. Остальные три клетки также могут случайно оказаться квадратами: число 6 обозначает доказанную нижнюю гарантию, а не требование получить ровно шесть квадратов.

Используем общую координатную форму

\begin{pmatrix} A&B&C\\D&E&F\\G&H&J \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E+x&E-x+y&E-y\\ E-x-y&E&E+x+y\\ E+y&E+x-y&E-x \end{pmatrix}.

Для каждой выбранной позиции P введём корень qₚ и потребуем P=qₚ². Получается система из шести линейных уравнений относительно E,x,y, но квадратичных относительно корней.

2. Почему условий всегда три

Теорема исключения

Для любой шестиклеточной маски S матрица выбранных линейных форм имеет ранг 3. Поэтому после исключения E,x,y остаются ровно три независимых однородных квадратичных соотношения между шестью корнями. Над ℚ эти три соотношения не только необходимы, но и достаточны для восстановления единственной тройки E,x,y.

Доказательство

Строке клетки P соответствует точка (αₚ,βₚ) в решётке 3×3, поскольку P=E+αₚx+βₚy. На одной прямой этой решётки лежат не более трёх различных точек. Следовательно, шесть выбранных точек не могут быть коллинеарны и аффинно порождают плоскость; строки (1,αₚ,βₚ) имеют ранг 3.

\dim\ker L_S^{\,T}=6-\operatorname{rank}L_S=3.

Пусть R₁,R₂,R₃ — базис левого ядра Lₛ. Из Lₛ(E,x,y)ᵀ=qₛ⁽²⁾ немедленно следуют уравнения Rᵢ(qₛ⁽²⁾)=0. Обратно, в конечномерном пространстве над ℚ ортогональное дополнение левого ядра совпадает с образом Lₛ. Поэтому выполнение трёх уравнений означает, что вектор квадратов qₛ⁽²⁾ лежит в образе Lₛ, а полный ранг даёт единственность E,x,y.

q_S^{[2]}\in\operatorname{im}L_S \quad\Longleftrightarrow\quad R_1(q_S^{[2]})=R_2(q_S^{[2]})=R_3(q_S^{[2]})=0.

3. Почему типов ровно шестнадцать

Дополнение шестиклеточной маски состоит из трёх клеток. Взятие дополнения коммутирует со всеми вращениями и отражениями квадрата, поэтому орбиты масок 6/9 находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами трёхэлементных подмножеств девяти клеток.

Применим лемму Бёрнсайда. Тождество фиксирует все C(9,3)=84 тройки. Повороты на ±90° имеют циклы длин 1,4,4 и не фиксируют ни одной тройки. Поворот на 180° фиксирует центр и четыре пары противоположных клеток; неподвижная тройка обязана состоять из центра и одной такой пары, поэтому их 4. У каждого отражения имеются три неподвижные клетки и три переставляемые пары. Неподвижная тройка либо состоит из трёх осевых клеток, либо из одной осевой клетки и одной пары: 1+3·3=10 вариантов.

N_{6/9}=N_{3/9} =\frac{84+0+4+0+4\cdot10}{8} =16.

4. Все позиционные типы

В атласе выбран по одному каноническому представителю каждой орбиты. Для него выписаны исходная система из шести квадратных клеток, три предпочтительных независимых отношения и сильнейший доказанный результат. Цвет обозначает тип квадрики, а разные оттенки одного цвета — разные условия того же типа.

Применение восьми элементов D₄ к каждому трёхклеточному дополнению не переводит его в дополнение другой строки: это различается по наличию центра, числу углов и сторон и их взаимной смежности или противоположности. Следовательно, перед нами шестнадцать различных орбит; вычисление по Бёрнсайду доказывает, что список исчерпывающий.

Для краткого описания цветовой сигнатуры введём геометрические названия. Они относятся к тройке выбранных квадрик, а не к форме шестиклеточной маски:

red–red–redтреугольныеred–red–yellowпрямоугольные

Среди предпочтительных базисов атласа треугольных типов 3, прямоугольных — 8. В частности, оба параметризованных tfmn-класса ABEFGJ и ABDFHJ являются прямоугольными.

Доказательный атлас

Все 16 орбит и тройки квадрик 6/9

Каждая карточка содержит исходную систему и три предпочтительных независимых отношения. Оттенки одного цвета разделяют разные условия одного математического типа.

прогрессия квадратовгауссова норманорма x²+2y²Статус показывает сильнейший доказанный результат, а не наличие отдельных примеров.

ABCDEF

дополнение: GHJ

red(DEF)yellow(ACDE)blue(BCDE)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

a^2+d^2=c^2+e^2

b^2+2c^2=d^2+2e^2

Одна прогрессия и две квадрики на общем блоке C,D,E.

Каноническая система

ABCDEG

дополнение: FHJ

red(CEG)yellow(ACDE)yellow(ABEG)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

c^2+g^2=2e^2

a^2+d^2=c^2+e^2

a^2+b^2=e^2+g^2

Прогрессия CEG и две независимые гауссовы нормы.

Каноническая система

ABCDEH →

дополнение: FGJ

red(CDH)red(BEH)yellow(ACEH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

d^2+h^2=2c^2

b^2+h^2=2e^2

a^2+c^2=e^2+h^2

Пересекающийся red–red–yellow с общей клеткой H.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 2≤rank≤4

ABCDEJ

дополнение: FGH

red(BDJ)red(AEJ)yellow(ACDE)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

a^2+j^2=2e^2

a^2+d^2=c^2+e^2

Две пересекающиеся прогрессии и жёлтая склейка.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 1≤rank≤4

ABCDFG

дополнение: EHJ

red(BFG)yellow(BCDG)blue(ACFG)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

b^2+f^2=2g^2

b^2+c^2=d^2+g^2

2a^2+g^2=c^2+2f^2

Прогрессия, гауссова норма и норма x²+2y² без центральной клетки.

Каноническая система

ABCDFH

дополнение: EGJ

red(AFH)red(CDH)yellow(BDFH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

f^2+h^2=2a^2

d^2+h^2=2c^2

b^2+h^2=d^2+f^2

Пересекающийся red–red–yellow с общей клеткой H.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 1≤rank≤4

ABCDGJ

дополнение: EFH

red(BDJ)yellow(ACGJ)yellow(BCDG)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

a^2+j^2=c^2+g^2

b^2+c^2=d^2+g^2

Одна прогрессия и две независимые гауссовы нормы.

Каноническая система

ABCDHJ

дополнение: EFG

red(BDJ)red(CDH)yellow(ABHJ)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

d^2+h^2=2c^2

a^2+j^2=b^2+h^2

Пересекающаяся пара прогрессий с общей клеткой D.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 1≤rank≤4

ABCEGH

дополнение: DFJ

red(CEG)red(BEH)yellow(ACEH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

c^2+g^2=2e^2

b^2+h^2=2e^2

a^2+c^2=e^2+h^2

Та же квартика K3, что у ABCEGJ, с другим чтением клеток.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 2≤rank≤4

ABCEGJ

дополнение: DFH

red(CEG)red(AEJ)yellow(BEGJ)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

c^2+g^2=2e^2

a^2+j^2=2e^2

b^2+e^2=g^2+j^2

Та же квартика K3, что у ABCEGH, с другим чтением клеток.

ПрямоугольныйK3: 2I₄+8I₂; 2≤rank≤4

ABCGHJ

дополнение: DEF

yellow(ACGJ)yellow(ABHJ)blue(ACHJ)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E+y&=g^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=c^2+g^2

a^2+j^2=b^2+h^2

a^2+2c^2=2h^2+j^2

Единственный бескрасный представитель: две гауссовы и одна голубая нормы.

Каноническая система

ABDEFH

дополнение: CGJ

red(AFH)red(DEF)red(BEH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

f^2+h^2=2a^2

d^2+f^2=2e^2

b^2+h^2=2e^2

Три красных условия с двумя общими центрами.

ТреугольныйK3: 4I₄+4I₂; 1≤rank≤2

ABDEFJ

дополнение: CGH

red(BDJ)red(DEF)red(AEJ)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

d^2+f^2=2e^2

a^2+j^2=2e^2

Другой топологический тип трёх красных условий.

ТреугольныйK3: 4I₄+4I₂; 1≤rank≤2

ABDFHJ →

дополнение: CEG

red(AFH)red(BDJ)yellow(BDFH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

f^2+h^2=2a^2

b^2+d^2=2j^2

b^2+h^2=d^2+f^2

Параллельный red–red–yellow без центральной клетки.

Прямоугольныйtfmn-параметризация

ABEFGH

дополнение: CDJ

red(AFH)red(BFG)red(BEH)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

f^2+h^2=2a^2

b^2+f^2=2g^2

b^2+h^2=2e^2

Треугольник из трёх попарных квадратных средних.

ТреугольныйK3: 4I₄+4I₂; 1≤rank≤2

ABEFGJ →

дополнение: CDH

red(BFG)red(AEJ)yellow(ABFJ)

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+f^2=2g^2

a^2+j^2=2e^2

a^2+b^2=f^2+j^2

Параллельный red–red–yellow с центральной клеткой.

Прямоугольныйtfmn-параметризация

5. Восемь прогрессий магического квадрата

В общей форме существуют ровно восемь троек позиций, значения которых тождественно образуют арифметическую прогрессию. Это утверждение относится к значениям клеток и не требует, чтобы позиции лежали на одной геометрической прямой.

\begin{array}{llll} A+J=2E, & F+H=2A, & B+D=2J, & B+H=2E,\\ B+F=2G, & D+H=2C, & C+G=2E, & D+F=2E. \end{array}

Им соответствуют тройки AEJ, AFH, BDJ, BEH, BFG, CDH, CEG и DEF. Если значения трёх клеток являются квадратами, получается арифметическая прогрессия квадратов. В частности, AFH и BDJ — те самые менее очевидные прогрессии, соседние позиции которых соединяются ходом коня.

Полнота списка следует из коэффициентной решётки: арифметической прогрессии соответствует прямая через три её точки, а в решётке 3×3 имеются ровно три горизонтали, три вертикали и две диагонали с тремя точками.

Каждая такая прогрессия даёт одно из трёх квадратичных условий маски. Однако наличие двух или трёх прогрессий ещё не означает применимость tfmn: для этого две прогрессии должны быть непересекающимися и иметь одно направление и один шаг в общей форме квадрата.

6. Два параллельных класса

В направлении x лежат три непересекающиеся прогрессии AEJ, BFG и CDH; в направлении y — AFH, BDJ и CEG. Выбор двух прогрессий одного направления даёт шесть масок:

\begin{aligned} x:\;&ABEFGJ,\ ACDEHJ,\ BCDFGH,\\ y:\;&ABDFHJ,\ ACEFGH,\ BCDEGJ. \end{aligned}

Четыре из них содержат центр E и эквивалентны маске ABEFGJ. Две не содержат центр и эквивалентны ABDFHJ. Вращения и отражения сохраняют центр, поэтому эти две орбиты различны; перечисленные симметрии внутри каждой группы показывают, что других орбит здесь нет.

ABCDEFGHJ

ABEFGJ: AEJ и BFG

ABCDEFGHJ

ABDFHJ: AFH и BDJ

Точная граница tfmn

Среди шестнадцати позиционных типов ровно ABEFGJ и ABDFHJ являются объединениями двух непересекающихся параллельных прогрессий. В каждой из них локальная параметризация обеих прогрессий приводит к сравнению квадратных классов их шагов — уравнению равенства значений tf. Это два хорошо разработанных tfmn-класса 6/9.

7. Что происходит с остальными четырнадцатью

Остальные маски могут содержать пересекающиеся прогрессии, одну прогрессию или не содержать ни одной. Во всех случаях полная задача по-прежнему состоит из трёх независимых квадрик, но естественные координаты и способ их совместного решения меняются. Подмаски из четырёх и пяти клеток дают знакомые отношения прогрессий и норм, однако три условия необходимо согласовать одновременно.

Поэтому примеры 6/9 в других позиционных типах сами по себе не дают параметризации. Для каждого типа требуется указать порождающую рациональную поверхность или семейство, доказать корректность восстановления E,x,y и отдельно установить область покрытия. Такая классификация и составляет следующий слой исследования 6/9.

Далее: fmn и tfmn →Открыть конструктор 6/9 Открыть атлас отдельно Теория масок 4/9 и 5/9