Частичные квадратные конфигурации · 3.2

fmn и tfmn

fmn и tfmn — названия двух связанных конструкций; сами функции обозначаются f и tf. Функция f(m,n) одновременно выражает площадь пифагорового треугольника и четверть шага параметризованной прогрессии квадратов, а tf(m,n)=t(f(m,n)) является свободной от квадратов частью f(m,n). Равенство двух значений tf служит точным критерием того, что две прогрессии можно масштабировать до общего шага.

1. Площадь и шаг прогрессии

Для ненулевых рациональных m,n положим

f(m,n)=mn(m^2-n^2) =mn(m-n)(m+n).

Эта форма возникает из классической параметризации пифагоровых троек:

(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2,\qquad \frac{(m^2-n^2)(2mn)}2=f(m,n).

При m>n>0 значение f(m,n) является площадью прямоугольного треугольника с катетами m²−n² и 2mn. Для произвольного порядка и знаков параметров f хранит также ориентацию.

Связь с арифметическими прогрессиями квадратов получается из тождеств

\begin{aligned} (m^2+n^2)^2-4f(m,n)&=(-m^2+2mn+n^2)^2,\\ (m^2+n^2)^2+4f(m,n)&=(m^2+2mn-n^2)^2. \end{aligned}

Следовательно, три выражения

V-4f(m,n),\qquad V,\qquad V+4f(m,n), \qquad V=(m^2+n^2)^2,

являются квадратами и образуют арифметическую прогрессию с ориентированным шагом 4f(m,n). Именно это тождество лежит в основе применения конструкции fmn к восьми прогрессиям магического квадрата.

2. Свободная от квадратов часть

Для целого N≠0 обозначим через t(N) свободную от квадратов часть N. Это единственное свободное от квадратов целое число того же знака, для которого

N=t(N)q^2,\qquad q\in\mathbb Z_{>0}.

Через разложение N на простые эта часть записывается непосредственно. Если

N=\operatorname{sgn}(N)\prod_p p^{e_p},

то

t(N)=\operatorname{sgn}(N)\prod_{e_p\ \mathrm{odd}}p, \qquad q=\prod_p p^{\lfloor e_p/2\rfloor}.

В произведение t(N) входят ровно те простые, которые входят в N в нечётной степени; остальные степени целиком поглощаются квадратом q². Это доказывает существование разложения. Его единственность следует из единственности разложения на простые: знак t(N) задан знаком N, а показатель каждого простого в свободной от квадратов части может быть только 0 или 1 и потому равен остатку eₚ по модулю 2.

На языке квадратных классов та же конструкция выражается эквивалентностью

t(A)=t(B) \iff \frac AB\in(\mathbb Q^\times)^2, \qquad A,B\in\mathbb Z\setminus\{0\}.

Поэтому t(N) является каноническим целым представителем класса N в группе ℚ×/(ℚ×)². Эта абстрактная интерпретация будет полезна для доказательств, но сама функция t далее означает просто свободную от квадратов часть.

Определение функции tf

\operatorname{tf}(m,n)=t\!\left(f(m,n)\right), \qquad m,n\in\mathbb Z,\quad f(m,n)\ne0.

Таким образом, tf(m,n) — свободная от квадратов часть f(m,n). При f(m,n)=0 прогрессия постоянна и tf не определяется.

3. tf(m,n) как конгруэнтное число

Пусть m>n>0 — целые числа и

f(m,n)=Tq^2,\qquad T=\operatorname{tf}(m,n)>0.

Разделим стороны соответствующего пифагорова треугольника на q:

A=\frac{m^2-n^2}{q},\qquad B=\frac{2mn}{q},\qquad H=\frac{m^2+n^2}{q}.

Получается рациональный прямоугольный треугольник площади

\frac{AB}{2}=\frac{mn(m^2-n^2)}{q^2}=T.

Следовательно, положительное значение tf(m,n) является свободной от квадратов частью площади и одновременно конгруэнтным числом. Различные пары (m,n) могут иметь одну и ту же свободную от квадратов часть и потому задавать одно и то же T.

4. Критерии равенства значений tf

Теорема

Пусть Fᵢ=f(mᵢ,nᵢ) — два ненулевых целых значения функции f и G=gcd(|F₁|,|F₂|). Следующие условия эквивалентны:

$t(F_1)=t(F_2)$ ;
$F_1/F_2$ является квадратом в ℚ;
$F_1F_2$ является положительным полным квадратом;
знаки F₁,F₂ совпадают, а $|F_1|/G$ и $|F_2|/G$ являются полными квадратами.

Доказательство

Запишем Fᵢ=Tᵢqᵢ², где Tᵢ=t(Fᵢ) — свободная от квадратов часть Fᵢ. Отношение F₁/F₂ является квадратом тогда и только тогда, когда совпадают знак и чётности показателей каждого простого, то есть T₁=T₂. Произведение F₁F₂ является положительным квадратом при том же условии.

Если T₁=T₂=T, то G=|T|gcd(q₁,q₂)², поэтому оба частных |Fᵢ|/G — квадраты. Обратно, квадратность этих двух частных и совпадение знаков делают их отношение F₁/F₂ рациональным квадратом. Тем самым все четыре условия эквивалентны.

5. Согласование масштабов прогрессий

Умножение всех трёх членов прогрессии квадратов на λ² сохраняет квадратность и умножает её шаг на λ². Поэтому для двух параметрических прогрессий со значениями F₁=f(m₁,n₁) и F₂=f(m₂,n₂) общий ориентированный шаг существует тогда и только тогда, когда найдутся ненулевые α,β∈ℚ такие, что

4\alpha^2F_1=4\beta^2F_2.

После сокращения это равенство совпадает со вторым условием предыдущей теоремы. Следовательно,

\operatorname{tf}(m_1,n_1)=\operatorname{tf}(m_2,n_2) \iff \text{прогрессии масштабируются до общего ориентированного шага}.

Конструктивно, если F₁=Tu² и F₂=Tv², первую прогрессию следует умножить на v², а вторую на u². Их шаги станут равны 4Tu²v². Это и есть арифметическое содержание равенства значений tf.

6. Симметрии параметров

Часть равенств значений tf возникает из замен параметров, которые не меняют квадратный класс или только обращают ориентацию прогрессии:

Замена	Изменение f	Смысл
$(m,n)\mapsto(\lambda m,\lambda n)$	$f\mapsto\lambda^4f$	общий масштаб параметров
$(m,n)\mapsto(-m,-n)$	$f\mapsto f$	одновременная смена знаков
$(m,n)\mapsto(n,m)$	$f\mapsto-f$	обращение прогрессии
$(m,n)\mapsto(m,-n)$	$f\mapsto-f$	обращение прогрессии
$(m,n)\mapsto(m+n,m-n)$	$f\mapsto4f$	та же нормированная прогрессия

Последняя строка непосредственно следует из факторизации f(a,b)=ab(a+b)(a−b):

\begin{aligned} f(m+n,m-n) &=(m+n)(m-n)\cdot2m\cdot2n\\ &=4f(m,n). \end{aligned}

Средний квадрат V=(m²+n²)² при той же замене также умножается на 4. Поэтому отношение 4f/V, то есть dir, не меняется. Поскольку множитель 4 является квадратом, значение tf также сохраняется. При классификации неориентированных прогрессий дополнительно отождествляются противоположные знаки tf.

7. Саморекурсия функции tf

Одна прогрессия квадратов сама задаёт новую пару параметров. Положим

V=(m^2+n^2)^2,\qquad D=4f(m,n).

Если r=−m²+2mn+n², s=m²+n² и w=m²+2mn−n², то V=s², V−D=r² и V+D=w². Поэтому

\begin{aligned} f(V,D) &=VD(V^2-D^2)\\ &=s^2\cdot4f(m,n)\cdot r^2w^2\\ &=f(m,n)(2srw)^2. \end{aligned}

Отношение f(V,D)/f(m,n) является квадратом, и теорема о квадратных классах даёт тождество

\operatorname{tf}(m,n) = \operatorname{tf}\!\left((m^2+n^2)^2,\;4f(m,n)\right).

8. Эллиптическая кривая фиксированного значения tf

Для T=tf(m,n)>0 и f(m,n)=Tq² рациональный треугольник из третьего раздела соответствует точке на конгруэнтной эллиптической кривой

E_T:\quad y^2=x^3-T^2x.

В координатах m,n эта точка записывается особенно просто:

P_{m,n}= \left( \frac{Tm}{n}, \frac{T^2q}{n^2} \right).

Подстановка f(m,n)=Tq² непосредственно проверяет уравнение кривой. Обратное соответствие для точки (x,y) с y≠0 задаёт рациональный прямоугольный треугольник

A=\frac{x^2-T^2}{y},\qquad B=\frac{2Tx}{y},\qquad H=\frac{x^2+T^2}{y},

у которого A²+B²=H² и AB/2=T. Параметризация этого треугольника восстанавливает рациональное отношение m:n. Поэтому множество пар с фиксированным tf(m,n)=T является параметрическим представлением рациональных точек одной и той же кривой E_T с учётом описанных симметрий.

Саморекурсия предыдущего раздела имеет на этой кривой стандартный смысл. Формула удвоения даёт

x(2P_{m,n}) = T\,\frac{(m^2+n^2)^2}{4f(m,n)} =T\,\frac VD.

Это x-координата точки, построенной из новой пары (V,D); выбор ориентации определяет знак y. Следовательно, саморекурсия является удвоением точки, а не независимым источником второй точки на E_T.

9. От метода tfmn к конфигурациям 6/9

Равенство значений tf решает задачу согласования шагов двух прогрессий квадратов. Чтобы разместить обе прогрессии в одном магическом квадрате, необходимо дополнительно согласовать их средние члены, общие клетки и линейные координаты E,x,y. Эти условия зависят от позиционного типа конфигурации.

Для классов 6/9 с двумя параллельными прогрессиями значение tf служит естественной арифметической координатой метода tfmn: сначала выбираются две точки одной кривой E_T, затем решаются оставшиеся уравнения их размещения в общей форме магического квадрата. В исследованных классах дополнительные уравнения размещения приводят к коникам и эллиптическим поверхностям конкретных семейств.

Ранние семейства F1–F8 →Общая теория масок 4/9 и 5/9