Magic Squaresproof atlas
alpha · 0.6.0
← К циклу об эллиптической геометрии tfmn

Эллиптическая геометрия tfmn · 4.3

F7+ и F4+: генерация совпадений tf

F7+ переводит параметры фиксированного квадратного класса в точки одной кривой конгруэнтного числа и позволяет применять групповой закон. F4+ решает предшествующую задачу: систематически порождает сам класс вместе как минимум с двумя его представлениями. Вместе эти конструкции превращают одну пару совпадающих значений tf в целую решётку новых пар.

1. Задача генерации

Для невырожденной рациональной пары положим

f(a,b)=ab(a2−b2),tf⁡(a,b)=t(f(a,b)). f(a,b)=ab(a^2-b^2),\qquad \operatorname{tf}(a,b)=t(f(a,b)).

Одновременное масштабирование не меняет tf, поэтому естественными объектами являются проективные пары [a:b]. Требуется описывать и порождать множество

R={([a:b],[c:d]):tf⁡(a,b)=tf⁡(c,d)}. \mathcal R= \left\{ ([a:b],[c:d]): \operatorname{tf}(a,b)=\operatorname{tf}(c,d) \right\}.

Здесь ab(a²−b²)cd(c²−d²)≠0. Порядок двух пар пока сохраняется: перестановка пар является отдельной симметрией множества 𝓡.

Основной текст использует положительный общий класс T. Для отрицательного ориентированного tf действуют те же формулы: уравнение E_T зависит от T², а обратная пара [x:T] сохраняет знак класса.

2. Что даёт F7+

Зафиксируем положительное квадратсвободное значение T. Теорема F7+ устанавливает биекцию между проективными парами с tf=T и нетривиальными рациональными точками кривой

ET:y2=x3−T2x E_T:\quad y^2=x^3-T^2x

с точностью до знака y:

f(m,n)=Tq2⟹[m:n]⟼[(Tmn,T2qn2)]±y,[(x,y)]±y⟼[x:T]. \begin{aligned} f(m,n)=Tq^2 &\quad\Longrightarrow\quad [m:n]\longmapsto \left[ \left(\frac{Tm}{n},\frac{T^2q}{n^2}\right) \right]_{\pm y},\\ [(x,y)]_{\pm y} &\quad\longmapsto\quad [x:T]. \end{aligned}

Поэтому каждая известная точка P∈E_T(ℚ)∖E_T[2] даёт одну пару параметров, а любой нетривиальный кратный nP даёт следующую пару того же tf. Если известны две независимые точки P и Q, то для всех целых r,s можно рассматривать

Перед сложением необходимо выбрать для каждой пары один из двух знаков y, то есть ориентацию соответствующей точки. Замена знака может изменить сумму, хотя исходная проективная пара остаётся той же.

Rr,s=rP+sQ,ΨT(Rr,s)=[x(Rr,s):T]. R_{r,s}=rP+sQ,\qquad \Psi_T(R_{r,s})=[x(R_{r,s}):T].

Это уже двумерная решётка решений. Противоположные точки дают одну и ту же проективную пару, а точки 2-кручения соответствуют вырожденным парам и удаляются.

3. Почему одной F7+ недостаточно для поиска

F7+ является полной координатной теоремой, но не поставляет начальную точку. Если задано число T, а нетривиальные точки E_T(ℚ) ещё не известны, обратная формула [x:T] неприменима: складывать в группе пока нечего. Даже одна известная точка обычно даёт только циклическую цепочку её кратных и сама по себе не обнаруживает второе независимое направление.

Следовательно, как генератор F7+ требует начального набора точек. Именно этот недостаток компенсирует F4+.

4. F4+ как полный источник пар

Теорема о нормализованной паре

Каждый элемент 𝓡 единственным образом нормализуется к упорядоченной паре

([x:1],[x:y]), ([x:1],[x:y]),

для которой существует рациональный квадрат τ∈(ℚ×)² такой, что

x2−1=τy(x2−y2). x^2-1=\tau y(x^2-y^2).

Обратно, каждая невырожденная рациональная точка такого слоя F4+ задаёт элемент 𝓡.

Прямой переход

Пусть tf(u,v)=tf(r,s). Положим

x=uv,y=usrv. x=\frac uv,\qquad y=\frac{us}{rv}.

Тогда [u:v]=[x:1] и [r:s]=[x:y]. Равенство tf означает, что отношение двух f-значений является рациональным квадратом:

τ=f(x,1)f(x,y)=x2−1y(x2−y2)∈(Q×)2. \tau= \frac{f(x,1)}{f(x,y)} = \frac{x^2-1}{y(x^2-y^2)} \in(\mathbb Q^\times)^2.

Обратный переход

Если (x,y,τ) удовлетворяет уравнению F4+ и τ является рациональным квадратом, то

f(x,1)=τf(x,y), f(x,1)=\tau f(x,y),

поэтому tf(x,1)=tf(x,y). Независимые масштабы возвращают произвольные представители двух проективных классов:

(a,b)=(λx,λ),(c,d)=(μx,μy),λ,μ∈Q×. (a,b)=(\lambda x,\lambda),\qquad (c,d)=(\mu x,\mu y), \qquad \lambda,\mu\in\mathbb Q^\times.

5. Эллиптический генератор F4+

Пусть τ=ρ² и τ≠1. Кубика F4+ бирационально эквивалентна вспомогательной кривой

Eτ:Y2=X3−3τ2X+τ2(τ2+1). \mathcal E_\tau:\quad Y^2=X^3-3\tau^2X+\tau^2(\tau^2+1).

Из её рациональной точки восстанавливаются

x=Yτ(X−1),y=X−τ2τ(X−1). x=\frac{Y}{\tau(X-1)},\qquad y=\frac{X-\tau^2}{\tau(X-1)}.

После исключения границы xy(x²−1)(x²−y²)=0 получаются две невырожденные пары [x:1] и [x:y] с общим tf. Для генерации двух различных точек дополнительно удаляется диагональ y=1. На поверхности известны рациональные секции; хотя простейшие из них сами лежат на вырожденной границе, их комбинации P−Q, 2P и P+2Q уже дают явные невырожденные семейства. Поэтому F4+ способен выбирать T и одновременно поставлять две начальные точки на E_T.

При τ=1 эллиптическая модель вырождается, но исходная задача не исчезает. Нетривиальная компонента становится коникой

x2=y2+y+1, x^2=y^2+y+1,

то есть старой F4. Она обрабатывается собственной полной рациональной параметризацией.

6. Совместный алгоритм F4+ → F7+

  1. Выбрать рациональное ρ и невырожденную рациональную точку соответствующего слоя F4+ — непосредственно либо из комбинации универсальных секций.
  2. Восстановить две проективные пары [x:1] и [x:y].
  3. Вычислить общий квадратсвободный класс T=tf(x,1)=tf(x,y).
  4. Отобразить обе пары по F7+ в точки P,Q∈E_T(ℚ), выбрав знаки их y-координат.
  5. Для целых r,s вычислять R=rP+sQ и возвращать каждую нетривиальную точку в пару [x(R):T].

Над полем функций полной F4+-поверхности две полученные точки независимы, поэтому универсально возникает решётка ранга не меньше 2. В конкретной рациональной специализации независимость необходимо проверять отдельно: она может выродиться.

7. Точный пример: T=210

На слое τ=1 возьмём точку

x=73,y=53,72=32+3⋅5+52. x=\frac73,\qquad y=\frac53, \qquad 7^2=3^2+3\cdot5+5^2.

Она даёт две проективные пары

[7:3],[7:5],f(7,3)=f(7,5)=840=210⋅22. [7:3],\qquad [7:5],\qquad f(7,3)=f(7,5)=840=210\cdot2^2.

По F7+ им соответствуют точки

P=(490,9800),Q=(294,3528)наE210:v2=u3−2102u. P=(490,9800),\qquad Q=(294,3528) \quad\text{на}\quad E_{210}:v^2=u^3-210^2u.

Они независимы. Уже первое сложение даёт

P+Q=(240,−1800),Ψ210(P+Q)=[240:210]=[8:7]. P+Q=(240,-1800),\qquad \Psi_{210}(P+Q)=[240:210]=[8:7].

Действительно, f(8,7)=840 и tf(8,7)=210. Дальнейшие комбинации rP+sQ порождают новые проективные пары того же квадратного класса.

8. Полнота и точная граница

  • F7+ полностью описывает пары фиксированного tf, но только через множество рациональных точек E_T(ℚ); это не готовый конечный список.
  • F4+ полностью описывает упорядоченные совпадения tf после нормализации к общему первому параметру и одновременно даёт явные семейства начальных пар.
  • Комбинация F4+ → F7+ порождает подгруппу ⟨P,Q⟩ и все соответствующие ей пары. Для отдельного T равенство этой подгруппы всей E_T(ℚ) требует определения группы Морделла—Вейля конкретной кривой.
Полное доказательство F7+ →Геометрия и ранг F4+К оглавлению