← К циклу об эллиптической геометрии квадратных классов

Эллиптическая геометрия квадратных классов · 4.2

F4+: эллиптическая поверхность пар пифагоровых площадей

Совпадение рациональных квадратных классов площадей двух пифагоровых треугольников сводится к одной кубике с общим параметром. Её модель Вейерштрасса образует рациональную эллиптическую поверхность ранга Морделла—Вейля 2; после квадратичной замены базы возникает эллиптическая K3-поверхность того же геометрического ранга. Две исходные параметризации одновременно задают две независимые точки на универсальной кривой конгруэнтного числа, поэтому над полем функций F4+ эта кривая имеет ранг не меньше 2.

1. Пифагоровы площади и кривые конгруэнтных чисел

Для ненулевых рациональных u,v положим

f(u,v)=uv(u^2-v^2).

Классическая пифагорова параметризация даёт прямоугольный треугольник

(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2, \qquad \frac{(u^2-v^2)(2uv)}2=f(u,v).

Таким образом, f(u,v) является его ориентированной площадью. Пара называется невырожденной, если uv(u−v)(u+v)≠0. Одновременное масштабирование пары не меняет квадратный класс площади:

f(\lambda u,\lambda v)=\lambda^4f(u,v), \qquad \lambda\in\mathbb Q^\times.

Пусть положительный квадратный класс f(u,v) представлен квадратсвободным целым T и f(u,v)=Tq². После деления сторон треугольника на q получается рациональный прямоугольный треугольник площади T. Эквивалентно, пара задаёт нетривиальную рациональную точку на кривой конгруэнтного числа

C_T:\quad V^2=U^3-T^2U, \qquad (U,V)= \left( \frac{Tu}{v}, \frac{T^2q}{v^2} \right).

Поэтому две параметрические пары с одинаковым положительным квадратным классом площади задают две рациональные точки на одной и той же кривой C_T. Ниже классифицируется именно отношение между такими парами; сама кривая C_T и вспомогательная поверхность F4+ — разные эллиптические объекты.

2. Полная нормализация к общему параметру

Теорема о нормализации

Пусть (u,v) и (r,s) — две невырожденные рациональные пары. Их площади принадлежат одному ориентированному квадратному классу тогда и только тогда, когда после проективного масштабирования второй пары существуют ρ∈ℚ× и невырожденная тройка a,b,d∈ℚ, для которых

[(u,v)]=[(a,b)],\qquad [(r,s)]=[(a,d)],\qquad f(a,b)=\rho^2f(a,d).

Здесь невырожденность тройки означает abd(a²−b²)(a²−d²)≠0.

Доказательство

Если квадратные классы совпадают, то для некоторого σ∈ℚ× выполнено f(u,v)=σ²f(r,s). Масштабируем вторую пару множителем u/r и положим

a=u,\qquad b=v,\qquad d=\frac{us}{r},\qquad \rho=\sigma\left(\frac ru\right)^2.

Однородность четвёртой степени даёт

f(a,d) = f\!\left(\frac ur r,\frac ur s\right) = \left(\frac ur\right)^4f(r,s), \qquad \rho^2f(a,d)=\sigma^2f(r,s)=f(a,b).

Обратное утверждение следует непосредственно из последнего равенства. Тем самым общий первый параметр не является дополнительным ограничением: это координатная нормализация любой пары совпадающих квадратных классов.

3. Нормализованная кубика

Рассмотрим теперь полное уравнение

ab(a^2-b^2)=\rho^2ad(a^2-d^2).

Для невырожденных троек a,b,d можно разделить на ab³ и ввести отношения

x=\frac ab,\qquad y=\frac db,\qquad \tau=\rho^2.

Получается семейство плоских кубик

S_\tau:\qquad x^2-1=\tau y(x^2-y^2).

В исходной арифметической задаче τ обязано быть ненулевым рациональным квадратом. Для изучения поверхности полезно временно рассматривать τ как независимый параметр над ℚ.

Теорема о модели Вейерштрасса

При τ≠0 и τ²≠1 кубика S_τ бирационально эквивалентна эллиптической кривой

\mathcal E_\tau:\qquad Y^2=X^3-3\tau^2X+\tau^2(\tau^2+1).

Прямое отображение:

X=\frac{\tau(\tau-y)}{1-\tau y}, \qquad Y=\frac{\tau(\tau^2-1)x}{1-\tau y}.

Обратное отображение:

x=\frac{Y}{\tau(X-1)}, \qquad y=\frac{X-\tau^2}{\tau(X-1)}.

4. Доказательство бирациональности

Обозначим левую часть уравнения S_τ через

R_\tau(x,y)=x^2-1-\tau y(x^2-y^2).

Прямая подстановка в модель Вейерштрасса даёт точное факторное тождество

\begin{aligned} Y^2-&\left(X^3-3\tau^2X+\tau^2(\tau^2+1)\right)\\ &= \frac{\tau^2(\tau^2-1)^2} {(1-\tau y)^3} R_\tau(x,y). \end{aligned}

Следовательно, всякая точка S_τ из области определения отображается в 𝓔_τ. В обратную сторону выполняется

R_\tau\!\left( \frac{Y}{\tau(X-1)}, \frac{X-\tau^2}{\tau(X-1)} \right) = \frac{\tau^2-1}{\tau^2(X-1)^3} \left[ Y^2-X^3+3\tau^2X-\tau^2(\tau^2+1) \right].

Обе композиции являются тождественными. Для первой это сразу видно из равенств

X-1=\frac{\tau^2-1}{1-\tau y}, \qquad X-\tau^2= \frac{\tau y(\tau^2-1)}{1-\tau y}.

Подстановка y=1/τ в R_τ даёт (1−τ²)/τ². Поэтому знаменатель прямого отображения не обращается в нуль на S_τ при τ²≠1. В обратном отображении исключаются две точки

(X,Y)=\left(1,\pm(\tau^2-1)\right),

которые являются границей выбранной аффинной нормализации b≠0. Для исходной задачи дополнительно удаляются точки, у которых восстановленная тройка вырождена:

xy(x^2-1)(x^2-y^2)=0.

5. Особые слои и известная коника

Для модели 𝓔_τ инварианты равны

\begin{aligned} \Delta&=-432\,\tau^4(\tau-1)^2(\tau+1)^2,\\ c_4&=144\,\tau^2,\\ j&=-\frac{6912\,\tau^2}{(\tau-1)^2(\tau+1)^2}. \end{aligned}

Поэтому гладкие эллиптические слои вырождаются при τ=0,±1 и на бесконечности. При τ=1 исходная кубика распадается точно на две компоненты:

R_1(x,y) =(1-y)(x^2-y^2-y-1).

Компонента y=1 означает d=b и даёт тривиальное совпадение пары с самой собой. Нетривиальная компонента является коникой

x^2=y^2+y+1, \qquad\text{то есть}\qquad a^2=b^2+bd+d^2.

Именно этот слой ранее использовался для построения семейств кривых конгруэнтных чисел ранга не меньше 2. При τ=−1 аналогично

R_{-1}(x,y) =(1+y)(x^2-y^2+y-1).

Слой τ=−1 необходим для геометрического паспорта поверхности, хотя он не возникает из рационального ρ в равенстве τ=ρ².

6. Видимые секции и явные семейства

На поверхности сразу видны две рациональные секции

P(\tau)=\bigl(\tau,\tau(\tau-1)\bigr), \qquad Q(\tau)=\bigl(\tau^2,\tau(\tau^2-1)\bigr).

Сами P и Q лежат на вырожденной границе: обратное отображение даёт соответственно (x,y)=(1,−1) и (1,0). То же верно для P+Q, который даёт (−1,1). Их роль состоит не в этих трёх тривиальных решениях, а в арифметике группы Морделла—Вейля: другие комбинации секций уже восстанавливают невырожденные пары.

Секция	$X$	$Y$	$x=a/b$	$y=d/b$
$P-Q$	$3\tau+4$	$(\tau+1)(\tau+8)$	$\dfrac{\tau+8}{3\tau}$	$\dfrac{4-\tau}{3\tau}$
$2P$	$-2\tau$	$-\tau(\tau-1)$	$\dfrac{\tau-1}{2\tau+1}$	$\dfrac{\tau+2}{2\tau+1}$
$P+2Q$	$4-3\tau$	$(\tau-1)(\tau-8)$	$\dfrac{8-\tau}{3\tau}$	$\dfrac{\tau+4}{3\tau}$

Каждая строка является тождественным рациональным семейством решений x²−1=τy(x²−y²). Однако конечная таблица комбинаций не заменяет множество 𝓔_τ(ℚ): для фиксированного τ задача нахождения всех рациональных точек остаётся самостоятельной арифметической задачей.

7. Паспорт рациональной эллиптической поверхности

Рассмотрим τ как координату проективной прямой. Минимальная эллиптическая поверхность 𝓔→ℙ¹_τ имеет четыре особых слоя:

Точка базы	Тип Кодайры	Корневая решётка	Число Эйлера
$\tau=0$	IV	A₂	4
$\tau=1$	I₂	A₁	2
$\tau=-1$	I₂	A₁	2
$\tau=\infty$	IV	A₂	4

Сумма чисел Эйлера равна 12, поэтому это рациональная эллиптическая поверхность. Над алгебраическим замыканием её число Пикара равно 10. Суммарный ранг корневых решёток особых слоёв равен 2+1+1+2=6. Формула Шиоды—Тейта даёт

\operatorname{rank} \mathcal E_\tau(\overline{\mathbb Q}(\tau)) =10-2-6=2.

Секции P и Q независимы. Действительно, всякое целочисленное отношение между ними специализировалось бы на любом хорошем слое, где обе секции определены. При τ=9 получается

Y^2=X^3-243X+6642, \qquad P=(9,72),\quad Q=(81,720).

Точный расчёт группы рациональных точек этой кривой даёт ранг 2 и P,Q в качестве независимых образующих. Следовательно, P,Q обеспечивают нижнюю оценку 2 уже над ℚ(τ), а формула Шиоды—Тейта даёт совпадающую геометрическую верхнюю оценку:

\operatorname{rank}\mathcal E_\tau(\mathbb Q(\tau)) = \operatorname{rank}\mathcal E_\tau(\overline{\mathbb Q}(\tau)) =2.

Хорошая специализация при τ=2 имеет тривиальный торсион, поэтому специализация торсиона исключает и нетривиальный торсион над ℚ(τ). Таким образом, P и Q исчерпывают свободный ранг с точностью до конечного индекса. Это утверждение относится к функциональному полю и не означает, что каждый рациональный специализированный слой имеет ранг ровно 2.

8. Квадратичная замена базы и K3-поверхность

Для равенства квадратных классов параметр τ должен иметь вид τ=ρ². После этой замены получается исходное семейство

\mathcal E_\rho:\qquad Y^2=X^3-3\rho^4X+\rho^4(\rho^4+1).

Разветвлённый подъём двух слоёв типа IV даёт слои IV* при ρ=0 и ρ=∞. Слои τ=1 и τ=−1 поднимаются в четыре слоя I₂ при ρ=±1,±i. Их числа Эйлера суммируются в

8+8+2+2+2+2=24,

поэтому минимальная поверхность является эллиптической K3-поверхностью. Суммарный ранг её корневых решёток равен

6+6+1+1+1+1=16.

Для комплексной K3-поверхности число Пикара не превосходит 20. По формуле Шиоды—Тейта

\operatorname{rank} \mathcal E_\rho(\overline{\mathbb Q}(\rho)) \le 20-2-16=2.

Поднятые секции P,Q остаются независимыми, поэтому неравенство является равенством. Итак, квадратичная замена τ=ρ² не создаёт новых свободных секций над алгебраическим замыканием:

\operatorname{rank} \mathcal E_\rho(\overline{\mathbb Q}(\rho))=2.

9. Универсальная кривая конгруэнтного числа ранга не меньше 2

У поверхности F4+ есть два разных эллиптических прочтения. Поверхность 𝓔_ρ описывает сами тройки параметров. Каждая такая тройка, в свою очередь, задаёт две точки на одной кривой конгруэнтного числа. Для нормировки a=1 запишем

A=x(x^2-1),\qquad \mathcal C_A:\quad v^2=u^3-A^2u.

На поверхности

x^2-1=\rho^2y(x^2-y^2)

двум пифагоровым треугольникам отвечают следующие рациональные точки:

R_x= \left(x^2(x^2-1),\,x^2(x^2-1)^2\right), \qquad R_y= \left(\rho^2x^2(x^2-y^2),\, \rho^3x^2(x^2-y^2)^2\right).

Теорема о двух независимых точках

Пусть K — поле функций неприводимой поверхности x²−1=ρ²y(x²−y²) над ℚ. Тогда Rₓ и Rᵧ принадлежат 𝓒_A(K) и независимы с точностью до кручения. В частности,

\operatorname{rank}\mathcal C_A(K)\ge 2.

Доказательство

Сначала заметим, что определяющий многочлен поверхности неприводим: как квадратный многочлен по ρ он мог бы разложиться над ℚ(x,y) только в том случае, если (x²−1)/(y(x²−y²)) было бы квадратом, но его порядок при y=0 равен −1.

Подстановка Rₓ в уравнение 𝓒_A является стандартным переходом от пифагорова треугольника к кривой его площади. Для Rᵧ та же проверка после вынесения общих множителей сводится ровно к определяющему уравнению F4+:

\begin{aligned} v(R_x)^2-u(R_x)^3+A^2u(R_x)&=0,\\ v(R_y)^2-u(R_y)^3+A^2u(R_y) &=\rho^2x^4(x^2-y^2) \Bigl((x^2-1)^2-\rho^4y^2(x^2-y^2)^2\Bigr)\\ &=\rho^2x^4(x^2-y^2) \bigl(x^2-1-\rho^2y(x^2-y^2)\bigr) \bigl(x^2-1+\rho^2y(x^2-y^2)\bigr)=0. \end{aligned}

так что последнее выражение обращается в нуль на поверхности. Для независимости достаточно одной хорошей специализации. Возьмём

\rho=1,\qquad x=\frac73,\qquad y=\frac53, \qquad 7^2=3^2+3\cdot5+5^2.

После общего масштабирования сторон на 9/2 получаются два прямоугольных треугольника (20,21,29) и (12,35,37), оба площади 210. Поэтому специализация универсальной кривой и двух секций равна

E_{210}:\quad v^2=u^3-210^2u, \qquad R_x=(490,9800),\quad R_y=(294,3528).

Используем стандартное отображение Куммера для кривой с полным рациональным 2-кручением; в точках 2-кручения берутся его обычные предельные значения:

\delta:E_{210}(\mathbb Q)/2E_{210}(\mathbb Q) \longrightarrow (\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times2})^2, \qquad (u,v)\longmapsto(u,u-210).

Для двух независимых точек 2-кручения T₀=(0,0), T₊=(210,0) и двух рассматриваемых точек квадратные классы равны

\delta(T_0)=(-1,-210),\quad \delta(T_+)=(210,2),\quad \delta(R_x)=(10,70),\quad \delta(R_y)=(6,21).

В базисе квадратных классов (−1,2,3,5,7) эти четыре элемента дают матрицу

\left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 1&0&0&0&0&1&1&1&1&1\\ 0&1&1&1&1&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&1&0&0&1&0&1&1\\ 0&1&1&0&0&0&0&1&0&1 \end{array} \right),

имеющую ранг 4 над 𝔽₂. Кроме того, прямой подсчёт даёт #E₂₁₀(𝔽₁₁)=12 и #E₂₁₀(𝔽₁₃)=20. Поскольку обе редукции хорошие, порядок рационального кручения делит 4; видимые точки (0,0), (±210,0) уже образуют группу порядка 4. Следовательно, кручение в точности равно E₂₁₀[2]. В любом соотношении aRₓ+bRᵧ=T с T∈E₂₁₀[2] ранг матрицы заставляет a и b быть чётными, а T — нулём. Полученное соотношение можно разделить на 2 и повторить рассуждение; поэтому a и b делятся на любую степень 2 и равны нулю. Точки Rₓ и Rᵧ независимы.

Любое целочисленное отношение между универсальными секциями специализировалось бы в это отношение на E₂₁₀, что невозможно. Поэтому секции независимы над K.

Точная граница результата

F4+ даёт полную координатную модель всех совпадений квадратных классов двух невырожденных пифагоровых параметризаций.
Две естественные точки независимы над полем функций полной F4+-поверхности; это отдельная теорема, не следствие ранга вспомогательной поверхности 𝓔_ρ.
Теорема не утверждает, что независимость сохраняется при каждой рациональной специализации, и сама по себе не доказывает, что зависимые специализации имеют плотность нуль.

10. Соотношение с известными результатами

Что известно независимо от F4+

Мальвина Баика исследовала построение нескольких рациональных пифагоровых треугольников одной площади. Статья 1988 года.
Лоренц Хальбайзен и Норберт Хунгербюлер использовали конику a²=b²+bd+d² — слой ρ=1 нашей модели — для построения бесконечного семейства кривых конгруэнтных чисел ранга не меньше 2. Статья 2019 года.
Raiza Corpuz дала 2-десцентное доказательство классической связи nm²=uv(u²−v²) с кривой y²=x³−n²x и построила семейства ранга не меньше 2 и 3. Препринт 2020 года.
Рациональные эллиптические поверхности с четырьмя особыми слоями классифицированы Херфуртнером; конфигурация IV²I₂² присутствует в списке Перссона—Миранды. Поэтому абстрактный тип вспомогательной поверхности не заявляется как новый. Herfurtner · Miranda.

Что добавляет F4+

F4+ объединяет эти сюжеты в полной модели произвольного квадратного отношения двух пифагоровых площадей: доказывает нормализацию к общему первому параметру, даёт явную бирациональную координатную систему, определяет паспорт рациональной поверхности и её K3-замены базы, а также доказывает независимость двух естественных точек на универсальной кривой конгруэнтного числа. В перечисленных источниках такая полная конструкция и последняя теорема не обнаружены; это утверждение относится к приведённому обзору литературы и может уточняться при появлении более ранних источников.

Обозначение F4+ возникло исторически внутри исследования магических квадратов: равенство квадратных классов появилось при согласовании шагов двух арифметических прогрессий квадратов. Эта мотивация не входит в доказательство поверхности, но объясняет название.

Генерация пар через F4+ и F7+ →Биекция с кривой конгруэнтного числа К оглавлению теории