Magic Squaresproof atlas
alpha · 0.6.0
← К циклу об эллиптической геометрии tfmn

Эллиптическая геометрия tfmn · 4.1

F7+: пары параметров и поверхность конгруэнтных чисел

Фиксированное значение tf задаёт эллиптическую кривую конгруэнтного числа. Невырожденные рациональные пары параметров находятся в точной биекции с её нетривиальными рациональными точками с точностью до знака y.

1. Квадратный класс и проективная пара

Положим

f(m,n)=mn(m−n)(m+n). f(m,n)=mn(m-n)(m+n).

Пара (m,n) невырождена, если m,n,m−n и m+n ненулевые.

Определение проективной пары

Две ненулевые рациональные пары считаются эквивалентными, если одна получается из другой одновременным умножением обоих параметров на одно и то же ненулевое рациональное число:

(m,n)∼(m′,n′)  ⟺  ∃ λ∈Q×:(m′,n′)=(λm,λn). (m,n)\sim(m',n') \iff \exists\,\lambda\in\mathbb Q^\times: \quad (m',n')=(\lambda m,\lambda n).

Класс эквивалентности пары (m,n) обозначается [m:n] и называется проективной парой. Множество таких классов есть проективная прямая ℙ¹(ℚ).

При этой одновременной замене f(λm,λn)=λ⁴f(m,n). Поскольку λ⁴ является рациональным квадратом, квадратный класс f и значение tf одинаковы для всех представителей [m:n]. Масштабирование только одного параметра к этой эквивалентности не относится.

Зафиксируем положительное квадратсвободное целое T. Рассматриваем множество

PT={[m:n]∈P1(Q):mn(m−n)(m+n)≠0,f(m,n)∈T(Q×)2}. \mathcal P_T= \left\{ [m:n]\in\mathbb P^1(\mathbb Q): mn(m-n)(m+n)\ne0,\quad f(m,n)\in T(\mathbb Q^\times)^2 \right\}.

Иными словами, [m:n] принадлежит 𝒫_T тогда и только тогда, когда для некоторого q∈ℚ× выполняется f(m,n)=Tq², то есть tf(m,n)=T.

О названии

Обозначение F7+ возникло исторически. В этой статье оно означает всю поверхность кривых фиксированного квадратного класса и не зависит от какой-либо конечной нумерации формул.

2. Кривая фиксированного T

К значению T относится конгруэнтная эллиптическая кривая

ET:y2=x3−T2x=x(x−T)(x+T). E_T:\qquad y^2=x^3-T^2x=x(x-T)(x+T).

Её рациональные точки порядка 2 и нейтральный элемент равны

ET[2](Q)={O, (0,0), (T,0), (−T,0)}. E_T[2](\mathbb Q)= \{\mathcal O,\ (0,0),\ (T,0),\ (-T,0)\}.

Обозначим через E_T°(ℚ) дополнение к этим четырём точкам. На нём y≠0. Инволюция (x,y)↦(x,−y) меняет знак точки в группе E_T(ℚ), но сохраняет её x-координату.

3. Теорема о биекции

Теорема F7+

Для каждого положительного квадратсвободного T существует биекция

ΦT:PT⟶∼ET∘(Q)/{(x,y)∼(x,−y)}. \Phi_T:\quad \mathcal P_T \overset{\sim}{\longrightarrow} E_T^\circ(\mathbb Q)\big/\{(x,y)\sim(x,-y)\}.

Если f(m,n)=Tq², то прямое отображение задаётся формулой

ΦT([m:n])=[(Tmn,T2qn2)]±y. \Phi_T([m:n]) = \left[ \left( \frac{Tm}{n}, \frac{T^2q}{n^2} \right) \right]_{\pm y}.

Обратное отображение имеет особенно простой вид:

ΨT([(x,y)]±y)=[x:T]. \Psi_T([(x,y)]_{\pm y})=[x:T].

4. Вывод прямого отображения

Пусть [m:n]∈𝒫_T и f(m,n)=Tq². Положим

x=Tmn,y=T2qn2. x=\frac{Tm}{n},\qquad y=\frac{T^2q}{n^2}.

Тогда уравнение кривой получается непосредственно из определения f:

x3−T2x=T3m(m2−n2)n3=T3n4 mn(m2−n2)=T3n4 f(m,n)=T4q2n4=y2. \begin{aligned} x^3-T^2x &=\frac{T^3m(m^2-n^2)}{n^3}\\ &=\frac{T^3}{n^4}\,mn(m^2-n^2)\\ &=\frac{T^3}{n^4}\,f(m,n)\\ &=\frac{T^4q^2}{n^4} =y^2. \end{aligned}

Невырожденность пары даёт x≠0,±T, а q≠0 даёт y≠0. Следовательно построенная точка принадлежит E_T°(ℚ).

Почему отображение корректно определено

Число q определяется равенством f=Tq² только с точностью до знака; замена q на −q меняет y на −y. Именно поэтому справа берётся фактор по знаку y.

Если заменить представителя пары на (λm,λn), то q заменяется на ±λ²q. Обе дроби Tm/n и T²q/n² сохраняются с точностью до уже учтённого знака y. Поэтому Φ_T зависит только от [m:n].

5. Вывод обратного отображения

Пусть (x,y)∈E_T°(ℚ). Из уравнения кривой следует

f(x,T)=xT(x−T)(x+T)=T(x3−T2x)=Ty2. \begin{aligned} f(x,T) &=xT(x-T)(x+T)\\ &=T(x^3-T^2x)\\ &=Ty^2. \end{aligned}

Поэтому [x:T] принадлежит 𝒫_T. Замена y на −y не меняет эту пару, так что Ψ_T корректно определено на факторе.

Остаётся проверить композиции. Для исходной пары

ΨT(ΦT([m:n]))=[Tmn:T]=[m:n]. \Psi_T(\Phi_T([m:n])) = \left[\frac{Tm}{n}:T\right] =[m:n].

Для исходной точки применим прямую формулу к паре [x:T]. В равенстве f(x,T)=Ty² можно взять q=y, после чего

ΦT([x:T])=[(TxT,T2yT2)]±y=[(x,y)]±y. \Phi_T([x:T]) = \left[ \left( \frac{Tx}{T}, \frac{T^2y}{T^2} \right) \right]_{\pm y} =[(x,y)]_{\pm y}.

Обе композиции тождественны. Это одновременно доказывает существование, инъективность и сюръективность соответствия.

6. Точная вырожденная граница

Четыре удалённые точки соответствуют ровно четырём способам обратить один из множителей f в нуль:

точка на ETпроективная паравырождениеO[1:0]n=0(0,0)[0:1]m=0(T,0)[1:1]m=n(−T,0)[−1:1]m=−n \begin{array}{c|c|c} \text{точка на }E_T & \text{проективная пара} & \text{вырождение}\\ \hline \mathcal O &[1:0]&n=0\\ (0,0)&[0:1]&m=0\\ (T,0)&[1:1]&m=n\\ (-T,0)&[-1:1]&m=-n \end{array}

Других исключений нет: всякая рациональная точка с y≠0 даёт невырожденную пару, а всякая невырожденная пара даёт такую точку.

7. Прямоугольный треугольник в обеих координатах

Равенство f(m,n)=Tq² сразу даёт рациональный прямоугольный треугольник

A=m2−n2q,B=2mnq,H=m2+n2q. A=\frac{m^2-n^2}{q},\qquad B=\frac{2mn}{q},\qquad H=\frac{m^2+n^2}{q}.

Действительно, A²+B²=H², а площадь равна

AB2=mn(m2−n2)q2=f(m,n)q2=T. \frac{AB}{2} =\frac{mn(m^2-n^2)}{q^2} =\frac{f(m,n)}{q^2} =T.

В координатах точки (x,y) тот же треугольник записывается как

A=x2−T2y,B=2Txy,H=x2+T2y. A=\frac{x^2-T^2}{y},\qquad B=\frac{2Tx}{y},\qquad H=\frac{x^2+T^2}{y}.

Подстановка x=Tm/n и y=T²q/n² переводит эти три выражения точно в предыдущие. Поэтому пара параметров, точка эллиптической кривой и треугольник площади T — три координатных представления одного объекта.

8. Групповой закон как операция над парами

Чтобы складывать точки, необходимо выбрать один из двух знаков q и тем самым один знак y. После сложения обратное отображение забывает знак результата и возвращает новую проективную пару. В частности, для удвоения точки

x(2P)=(x2+T2)24y2. x(2P) = \frac{(x^2+T^2)^2}{4y^2}.

Для точки, соответствующей [m:n], положим

V=(m2+n2)2,D=4f(m,n). V=(m^2+n^2)^2,\qquad D=4f(m,n).

Подстановка x=Tm/n, y=T²q/n² и f(m,n)=Tq² даёт

x(2P)=T4(m2+n2)2/n44T4q2/n4=(m2+n2)24q2=T VD. \begin{aligned} x(2P) &=\frac{T^4(m^2+n^2)^2/n^4}{4T^4q^2/n^4}\\ &=\frac{(m^2+n^2)^2}{4q^2}\\ &=T\,\frac{V}{D}. \end{aligned}

По обратной формуле точке 2P соответствует пара

[x(2P):T]=[TVD:T]=[V:D]. [x(2P):T] = \left[T\frac VD:T\right] =[V:D].

Таким образом, известная саморекурсия параметров является не отдельным семейством решений, а обычным удвоением на каждой фибре E_T. Более общие суммы точек аналогично задают операции над парами, хотя их явные формулы могут быть значительно сложнее.

9. Вся поверхность и граница результата

Если разрешить T меняться, кривые E_T образуют поверхность конгруэнтных чисел

E:y2=x3−T2x,T≠0. \mathcal E:\qquad y^2=x^3-T^2x,\qquad T\ne0.

Каждая невырожденная рациональная пара с f(m,n)>0 имеет единственного положительного квадратсвободного представителя T своего квадратного класса и потому попадает ровно на одну такую фибру. Это именно область обычной задачи о конгруэнтных числах.

Если сохранять ориентированный знак f, та же теорема дословно работает для любого ненулевого квадратсвободного целого T. При этом E_T=E_{−T}, поскольку уравнение зависит от T², но обратная формула [x:T] различает два знака квадратного класса. Поэтому положительная версия ничего не теряет в геометрии кривой, а знаковое расширение покрывает все ориентированные значения tf.

Полнота координатного описания не означает готового перечисления точек. Для фиксированного T нахождение группы E_T(ℚ), её ранга и образующих остаётся самостоятельной арифметической задачей. Групповой закон позволяет из известных точек получать новые пары через обратную формулу [x:T], но не гарантирует, что известные точки порождают всю группу.

Итак, F7+ покрывает все решения не списком формул, а биекцией с рациональными точками эллиптической поверхности. Это точная граница утверждения.

Генерация пар через F7+ и F4+ →Эллиптическая поверхность F4+К оглавлению теории