← К циклу об эллиптической геометрии tfmn

Эллиптическая геометрия tfmn · 4.3

Целочисленные tfmn-формы: контейнеры, Куммер и групповой закон

Четыре множителя n, m−n, m и m+n образуют не случайную факторизацию, а целочисленный подъём куммеровых координат точки на кривой конгруэнтного числа. Форма сохраняет линейные связи, точные квадратные множители и арифметику представителей, которые исчезают после нормализации квадратных классов.

1. От функции к форме

Для рациональных m,n положим

f(m,n)=mn(m-n)(m+n).

Определение

Упорядоченный кортеж четырёх линейных множителей

\Phi(m,n)=(n;\,m-n,m,m+n)

назовём tfmn-формой пары (m,n), а каждый её член — контейнером. Точка с запятой отделяет первый контейнер от трёх последовательных контейнеров; алгебраически все четыре равноправны.

\prod\Phi(m,n)=n(m-n)m(m+n)=f(m,n).

Одновременное масштабирование пары умножает каждый контейнер на один множитель, а произведение — на четвёртую степень:

\Phi(\lambda m,\lambda n)=\lambda\Phi(m,n), \qquad f(\lambda m,\lambda n)=\lambda^4f(m,n).

Поэтому квадратный класс f зависит только от проективной пары [m:n]. На карте n≠0 положим r=m/n. Деление формы на первый контейнер даёт рациональную нормализацию

\Phi_{\mathrm{rat}}(r)=(1;\,r-1,r,r+1).

В целочисленном контексте выбирается примитивный представитель gcd(m,n)=1. В положительной камере берётся m>n>0; для примитивных прогрессий квадратов дополнительно используется обычное условие разной чётности m и n. Эти соглашения делают запись канонической в выбранной камере, но не являются частью рационального определения формы.

2. Гармонический репер ранга два

Пусть V=ℚ² и v=(m,n). Контейнеры являются значениями четырёх фиксированных линейных функционалов:

\ell_0(v)=n,\qquad \ell_-(v)=m-n,\qquad \ell_c(v)=m,\qquad \ell_+(v)=m+n.

Это не базис V*: функционалов четыре, а размерность равна двум. Правильный линейный объект — избыточный репер ранга два. Любые два различных функционала образуют базис, тогда как вся четвёрка удовлетворяет соотношениям

\ell_c=\ell_-+\ell_0,\qquad \ell_+=\ell_c+\ell_0,\qquad \ell_-+\ell_+=2\ell_c.

Гармоничность

Направления [0:1], [1:−1], [1:0], [1:1] в проективной прямой V* имеют двойное отношение −1 при порядке (ℓ−,ℓ+;ℓc,ℓ0). Значит, форма является значением фиксированной гармонической четвёрки функционалов на одном векторе v.

Форма действительно похожа на систему координат, но не является векторным базисом: её четыре координаты избыточны уже до перехода к квадратным классам.

3. Эллиптическая точка и квадратная составляющая

Пусть T≠0 квадратсвободно и

f(m,n)=Tq^2.

Тогда форме соответствует точка на кривой

E_T:\quad Y^2=X^3-T^2X=X(X-T)(X+T)

по формулам

[m:n]\longmapsto P=\left(\frac{Tm}{n},\,\pm\frac{T^2q}{n^2}\right), \qquad (X,\pm Y)\longmapsto[X:T].

X^3-T^2X =\frac{T^3}{n^4}f(m,n) =\frac{T^4q^2}{n^4} =Y^2.

В нормированных координатах

r=\frac XT=\frac mn, \qquad w=\frac{Y}{T^2}=\pm\frac q{n^2}, \qquad T w^2=r(r-1)(r+1).

Почему q не следует отбрасывать

Целое q зависит от масштаба: при (m,n)↦(λm,λn) оно заменяется на ±λ²q. Но w=q/n² масштабно инвариантно и является вертикальной координатой точки. Оно различает P и −P и участвует в точных формулах сложения.

Рациональная форма без знака q определяет пару точек ±P и естественно живёт на факторе E_T/{±1}. Форма вместе с w поднимается на саму эллиптическую кривую.

4. Квадратные классы и куммерова тень

Обозначим через K группу ненулевых рациональных квадратных классов и будем записывать её аддитивно как пространство над 𝔽₂:

K=\mathbb Q^\times/(\mathbb Q^\times)^2, \qquad \overline u+\overline v=\overline{uv}.

Для точки P=(X,Y), не лежащей на рациональном 2-кручении, полное отображение 2-спуска имеет вид

\kappa(P)= (\overline{X-T},\overline X,\overline{X+T})\in K^3.

Произведение трёх компонент равно классу Y² и потому тривиально. Функции X−e для e∈{−T,0,T} имеют дивизоры 2(e,0)−2(𝒪), поэтому κ является стандартным куммеровым отображением и факторизуется через E_T(ℚ)/2E_T(ℚ).

Квадратноклассовая сигнатура нормированной формы равна

\sigma(P)= (\overline{r-1},\overline r,\overline{r+1}).

Поскольку X=Tr, все три координаты отличаются от куммеровых одним и тем же классом T. Если

\tau=(\overline T,\overline T,\overline T),

то

\sigma(P)=\tau+\kappa(P).

Аффинный закон

\sigma(P+Q)=\sigma(P)+\sigma(Q)+\tau.

После сдвига начала координат σ̂(P)=σ(P)+τ=κ(P) получается обычный гомоморфизм. Значит, квадратноклассовая форма является не линейным вектором с естественным нулём, а точкой аффинного пространства над образом 2-спуска.

Для любого невырожденного кратного [k]P сигнатура зависит только от чётности k:

\sigma([k]P)= \begin{cases} \sigma(P),&k\ \text{odd},\\ \tau,&k\ \text{even}. \end{cases}

5. Точная квадратная поправка при сложении

Куммеров закон сообщает только квадратные классы. Точная форма восстанавливает и квадратные множители. Пусть Pᵢ=(rᵢ,wᵢ) лежат на Tw²=r(r²−1), r₁≠r₂, и P₃=P₁+P₂. Положим

\mu=\frac{w_2-w_1}{r_2-r_1}, \qquad r_3=T\mu^2-r_1-r_2, \qquad w_3=\mu(r_1-r_3)-w_1.

Для каждого корня a∈{−1,0,1} определим значение секущей над этим корнем:

h_a= \frac{w_1(r_2-a)-w_2(r_1-a)}{r_2-r_1}.

Поконтейнерное тождество

(r_1-a)(r_2-a)(r_3-a)=T h_a^2, \qquad a\in\{-1,0,1\}.

Вывод

Пусть L(r) — прямая через P₁ и P₂. Её третий общий x-параметр с кубикой равен r₃: отражение третьей точки относительно горизонтальной оси даёт P₁+P₂. Сравнение старших коэффициентов даёт

T L(r)^2-r(r^2-1) =-(r-r_1)(r-r_2)(r-r_3).

При r=a кубический член обращается в нуль, а L(a)=hₐ. Подстановка сразу доказывает тождество. После перехода к квадратным классам множители hₐ² исчезают и остаётся аффинный закон предыдущего раздела.

Отсюда видно происхождение квадратной составляющей результата: она собирается из значений секущей над тремя точками рационального 2-кручения. Сигнатура видит только их классы; точная форма видит сами рациональные квадраты.

6. Удвоение и утроение

Удвоение

Для точки, представленной парой [m:n], положим

M_2=(m^2+n^2)^2, \qquad N_2=4f(m,n).

Тогда [M₂:N₂] представляет [2]P, а три последовательных контейнера факторизуются в точные квадраты:

\begin{aligned} M_2-N_2&=(m^2-2mn-n^2)^2,\\ M_2&=(m^2+n^2)^2,\\ M_2+N_2&=(m^2+2mn-n^2)^2. \end{aligned}

Следовательно

\Phi(M_2,N_2)= \bigl(4f(m,n);\,D_-^2,D_0^2,D_+^2\bigr),

D_-=m^2-2mn-n^2, \quad D_0=m^2+n^2, \quad D_+=m^2+2mn-n^2.

Если f(m,n)=Tq², то квадратная составляющая этого однородного представителя равна, с точностью до знака,

q_{2P}^{\mathrm{hom}}=2qD_-D_0D_+.

Утроение

Определим четыре квартики

\begin{aligned} A&=m^4+6m^2n^2-3n^4,\\ B&=3m^4-6m^2n^2-n^4,\\ C_-&=m^4-4m^3n-6m^2n^2-4mn^3+n^4,\\ C_+&=m^4+4m^3n-6m^2n^2+4mn^3+n^4. \end{aligned}

Точке [3]P соответствует пара [mA²:nB²], причём вся форма факторизуется поконтейнерно:

\Phi(mA^2,nB^2)= \bigl(nB^2;\,(m-n)C_-^2,\,mA^2,\,(m+n)C_+^2\bigr).

Утроение сохраняет квадратный класс каждого исходного контейнера отдельно, а квадратная составляющая равна

q_{3P}^{\mathrm{hom}}=qABC_-C_+.

Примитивное сокращение

Формулы относятся к указанным однородным представителям. Если оба параметра результата делятся на общий множитель d и пара сокращается, то f делится на d⁴, а точная рациональная квадратная составляющая — на d². Поэтому последовательность примитивных q содержит дополнительную арифметику НОД и не обязана буквально быть стандартной эллиптической последовательностью делимости.

7. Что уже содержится в 2-спуске и матрице Монски

Тройка нормированных квадратных классов не является новой заменой 2-спуска. Это те же куммеровы данные функций X−T, X и X+T, записанные в координате r=X/T и сдвинутые общим классом T. Для кривых конгруэнтного числа локальные условия на такие классы давно переводятся в линейную алгебру над 𝔽₂.

Матрица Монски кодирует локальную разрешимость кандидатов 2-Сельмера в простых, делящих 2T. Её ядро описывает допустимые локальные квадратноклассовые тени, а не обязательно рациональные точки: разрыв между группой Сельмера и образом E_T(ℚ)/2E_T(ℚ) измеряется 2-кручением группы Шафаревича—Тейта. Для нечётного и чётного T используются разные блочные формулы матрицы.

Уровень	Что сохраняется	Для чего удобен
Целочисленная форма	Четыре представителя, линейные связи, чётность, делимость и точное q.	Явные формулы, примитивизация и связь с прогрессиями квадратов.
Куммерова сигнатура	Три квадратных класса и класс точки по модулю 2E_T(ℚ).	Групповой закон, чётность кратных и полный 2-спуск.
Матрица Монски	Локальные ограничения на два независимых квадратноклассовых параметра.	Расчёт чистой 2-группы Сельмера и верхней границы ранга.

Вклад языка форм состоит не в новом изобретении куммеровых классов, а в их ненормализованном четырёхконтейнерном подъёме и в точных формулах квадратных поправок. Для текущей задачи этот подъём удобнее как главный объект; 2-спуск и матрица Монски остаются его естественным линейным рентгеном.

Литературный контекст

D. R. Heath-Brown, with an appendix by P. Monsky, The Size of Selmer Groups for the Congruent Number Problem, II — матричное описание 2-Сельмера для кривых конгруэнтного числа.
Mark Watkins, Stephen Donnelly, Noam D. Elkies, Tom Fisher, Andrew Granville, and Nicholas F. Rogers, Ranks of Quadratic Twists of Elliptic Curves — расщеплённая форма uv(u−v)(u+v), условия примитивности и практическое применение матриц Монски.
Tom Fisher, Edward F. Schaefer, and Michael Stoll, Higher Descents on an Elliptic Curve with a Rational 2-Torsion Point — последующие уровни спуска после квадратноклассового слоя.
Katherine E. Stange, Elliptic Nets and Elliptic Curves — общий контекст многочленов деления и точных рекуррентных множителей.

8. Пример T=210 и точная граница

Две примитивные пары дают одно и то же значение f без дополнительного квадрата:

\Phi(5,2)=(2;3,5,7), \qquad \Phi(6,1)=(1;5,6,7), \qquad f=210.

При выборе положительных знаков q=1 им соответствуют точки

P=(525,11025), \qquad Q=(1260,44100) \quad\text{on}\quad E_{210}:Y^2=X^3-210^2X.

Сложение и смена ориентации второй точки дают два разных результата:

\begin{aligned} P+Q&=(240,1800) &&\longleftrightarrow [8:7], &f(8,7)&=210\cdot2^2,\\ P-Q&=(3840,237600) &&\longleftrightarrow [128:7], &f(128,7)&=210\cdot264^2. \end{aligned}

Их целочисленные формы различны:

\Phi(8,7)=(7;1,8,15), \qquad \Phi(128,7)=(7;121,128,135).

Но поконтейнерное взятие квадратных классов даёт в обоих случаях

(\overline{7};\overline{1},\overline{2},\overline{15}), \qquad \sigma=(\overline{7},\overline{14},\overline{105}).

Куммерова тень совпадает, тогда как точные квадратные составляющие 2 и 264 различают результаты. Двузначность неизбежна: проективная пара [m:n] помнит x-координату, но забывает, была ли исходная точка P или −P.

Граница утверждений

Все квадратноклассовые формулы сформулированы на невырожденном локусе r(r−1)(r+1)≠0.
Нейтральная точка и точки (0,0), (±T,0) требуют специальных соглашений 2-спуска и имеют здесь статус not_assessed.
Формулы сложения с hₐ относятся к секущей r₁≠r₂; касательная разобрана отдельно точной формулой удвоения.
Совпадение сигнатур не означает равенства форм или точек; оно означает равенство соответствующих классов по модулю 2E_T(ℚ).

Итак, целочисленная tfmn-форма является главным арифметическим объектом, её нормированная сигнатура — аффинной куммеровой тенью, а квадратная составляющая — вертикальной координатой, возвращающей точные данные группового закона.

Далее: эллиптическая поверхность F4+ →Предыдущая глава: биекция F7+К исходной арифметике fmn и tfmn К оглавлению теории