О проекте магических квадратов из квадратов 3×3

1. Постановка задачи

Каждый магический квадрат порядка 3 однозначно задаётся тремя координатами E, x, y; его магическая сумма равна 3E:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Полная задача состоит в нахождении целых E, x, y, для которых все девять клеток являются положительными попарно различными квадратами целых чисел. Существование такого квадрата 9/9 не доказано и не опровергнуто.

E,x,y\in\mathbb Z,\qquad \mathcal M(E,x,y)_P=q_P^2>0\quad(P\in\Omega),\qquad q_P^2\ne q_Q^2\ (P\ne Q)

Текущая задача проекта — для подмножества клеток S описать решения системы, в которой квадратность гарантируется для всех P из S. Клетки вне S ничем не ограничиваются и также могут оказаться квадратными.

\mathcal M(E,x,y)_P=q_P^2\quad(P\in S),\qquad |S|\in\{4,5\}

2. Связь с конгруумами

Базовый красный случай возникает, когда три квадратные клетки лежат в арифметической прогрессии. Их общий ненулевой шаг d называется конгруумом:

r^2,\ s^2,\ t^2,\qquad r^2+t^2=2s^2,\qquad d=s^2-r^2=t^2-s^2

Этой прогрессии соответствует прямоугольный треугольник со сторонами t−r, t+r и 2s и площадью d. Поэтому поиск красных троек связан с классической задачей о конгруэнтных числах. В проекте эта связь используется как одна из лемм, а не как решение всей задачи о магическом квадрате.

3. Объект классификации

Группа D₄ действует на девяти клетках вращениями и отражениями. Проект классифицирует маски S с четырьмя и пятью клетками с точностью до этого действия. На каждом уровне получается ровно 23 орбиты; взятие дополнения задаёт биекцию между уровнями 4/9 и 5/9.

После введения корней qₚ исходная система линейна по E, x, y. Исключение этих трёх координат даёт одну квадрику при |S|=4 и две независимые квадрики при |S|=5. Они необходимы и достаточны над Q; целочисленные координаты получаются очисткой общего знаменателя однородным масштабированием.

q_S^{[2]}\in\operatorname{im}L_S\quad\Longleftrightarrow\quad R_i(q_S^{[2]})=0\quad(1\le i\le |S|-3)

4. Научная новизна

Новизна проекта не относится к общей форме магического квадрата, понятию конгруума или постановке открытой задачи 9/9. Она состоит в совместном рассмотрении всех частичных квадратных масок уровней 4/9 и 5/9 в единой системе:

полный список D₄-орбит обоих уровней и исправление прежнего каталога проекта с 22 до 23 орбит;
единый вывод необходимых и достаточных квадратичных систем непосредственно из координат E, x, y;
явные параметризации для каждой орбиты с отдельным доказательством области покрытия и исключительного множества;
канонический выбор цветового базиса квадрик, связывающий раскраску маски с конкретными уравнениями, а не с декоративной разметкой.

5. Вклад текущей версии

Для всех 23 орбит 4/9 дана полная рациональная параметризация с алгоритмом перехода к целым координатам.
Для 15 из 23 орбит 5/9 доказана полнота используемой параметризации. Для остальных восьми точно указано максимально широкое подмножество, покрытие которого доказано, и описано исключительное множество.
Каждая семейная формула сопровождается выводом из квадрик, восстановлением E, x, y и явным статусом полноты; проверка тождества не выдаётся за доказательство покрытия.
Точные полиномиальные сертификаты вынесены в доказательное ядро и отделены от формул, для которых доказательство ещё не формализовано.

6. Границы результата

Классификация 4/9 и 5/9 не доказывает существование квадрата 9/9.
Обозначение k/9 гарантирует квадратность выбранных k клеток, но не утверждает неквадратность остальных.
Полнота списка масок, достаточность квадрик и полнота конкретной параметризации являются разными утверждениями и доказываются отдельно.
Утверждение о научном приоритете относительно всей литературы не делается до завершения отдельного библиографического обзора.