Magic Squaresproof atlas
← К полному выводу 7/9

Полная классификация по D₄

Семь квадратных клеток: 8 трёхугловых поверхностей

Каждая карточка представляет одну позиционную орбиту, полный базис из четырёх красных и жёлтых квадрик и одно упрощённое тригонометрическое уравнение на трёх рациональных углах. Обратимые координатные формулы семи корней сохранены в раскрываемом техническом блоке.

Полнота относится к орбитам и к редукции исходной системы: на невырожденном рациональном локусе ни одна ветвь четырёх квадрик не теряется. Классификация рациональных или целых точек восьми итоговых поверхностей остаётся отдельной арифметической задачей.

Доказательство числа орбит, полноты карт и пошаговый вывод формул →

Полный тригонометрический атлас

Восемь орбит и восемь уравнений 7/9

Главный объект каждой карточки — упрощённое уравнение на трёх рациональных углах. Шесть орбит выражаются только через sin 4α, sin 4β и sin 4γ; две смешанные орбиты сохраняют также функции двойных углов. Координатное восстановление корней вынесено в раскрываемый технический блок.

красная прогрессия квадратовжёлтое равенство нормR/Y-профиль упорядочен по правилу red > yellow.
01
CDEFGHJ

дополнение AB · размер орбиты 8

соседние угловая и боковая клетки
упрощённое тригонометрическое уравнение(1−sin⁡4α)(1−sin⁡4β)+[cos⁡2γ−sin⁡2γ(sin⁡2α+cos⁡2α)]2=2 \boxed{\begin{gathered} (1-\sin4\alpha)(1-\sin4\beta)\\ +\bigl[\cos2\gamma-\sin2\gamma (\sin2\alpha+\cos2\alpha)\bigr]^2=2 \end{gathered}}
RRRYстроит CDHстроит CEGстроит EFGJзамыкает DEF
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
EFGJe2+g2=f2+j2e^2+g^2=f^2+j^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

c=Lu,g=Ru,d=LuLv,h=LuRv,f=Cw−SwRu,j=Sw+CwRu, \begin{aligned} c&=L_u,&g&=R_u,\\ d&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ f&=C_w-S_wR_u,&j&=S_w+C_wR_u, \end{aligned}

Координатный остаток

 (LuLv)2+(Cw−SwRu)2=2  \boxed{\ (L_uL_v)^2+(C_w-S_wR_u)^2=2\ }

CEG задаёт первую прогрессию, CDH — вторую с центром c². Жёлтая норма EFGJ поворачивает рациональный вектор (1,Rᵤ) в (f,j). После этого неиспользованной остаётся ровно прогрессия DEF.

02
BDEFGHJ

дополнение AC · размер орбиты 4

два угла одной стороны
упрощённое тригонометрическое уравнение(1−2sin⁡4α+sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α \boxed{\begin{gathered} \bigl(1-2\sin4\alpha+\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta-\sin4\alpha \end{gathered}}
RRRRстроит BDJстроит BEHстроит BFGзамыкает DEF
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,g=LuLw,f=LuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ g&=\frac{L_u}{L_w},&f&=\frac{L_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 Ru2+(LuRwLw)2=2(LuLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_w}{L_w}\right)^2 =2\left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2\ }

BDJ фиксирует b и d при j=1. В BEH и BFG известный корень b используется как левый конец двух новых прогрессий; поэтому их масштабы равны Lᵤ/Lᵥ и Lᵤ/L𝑤. Совместимость замыкается прогрессией DEF.

03
BCDFGHJ

дополнение AE · размер орбиты 4

угол и центр
упрощённое тригонометрическое уравнение(1+sin⁡4α−2sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α) \boxed{\begin{gathered} \bigl(1+\sin4\alpha-2\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta(1-\sin4\alpha) \end{gathered}}
RRRYстроит BDJстроит BFGстроит CDHзамыкает BCGH
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
BCGHc2+g2=b2+h2c^2+g^2=b^2+h^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuLw,h=RuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{L_w},&h&=\frac{R_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 (RuLw)2+(LuLv)2=Lu2+(RuRwLw)2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{L_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{R_uR_w}{L_w}\right)^2\ }

BDJ даёт два общих конца для независимых прогрессий BFG и CDH. Три красных коники тем самым выражают все семь корней через u,v,w. Оставшаяся гауссова норма BCGH становится единственным уравнением.

04
BCDEGHJ

дополнение AF · размер орбиты 8

пара клеток на ходе коня
упрощённое тригонометрическое уравнение (1−sin⁡4α)sin⁡4γ=−sin⁡4α(1−sin⁡4β)  \boxed{\ (1-\sin4\alpha)\sin4\gamma =-\sin4\alpha(1-\sin4\beta)\ }
RRRRстроит BDJстроит BEHстроит CEGзамыкает CDH
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,c=LuLwLv,g=LuRwLv, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{L_uL_w}{L_v},&g&=\frac{L_uR_w}{L_v}, \end{aligned}

Координатный остаток

 Ru2+(LuRvLv)2=2(LuLwLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_v}{L_v}\right)^2 =2\left(\frac{L_uL_w}{L_v}\right)^2\ }

BDJ строит первую dir-линию. Через общий корень b прогрессия BEH определяет масштаб e, а CEG с тем же центром e² вводит c и g. Четвёртая dir-линия CDH даёт итоговое уравнение. Именно в этой D₄-орбите лежит известный квадрат Бремнера—Сэллоуза с маской ABCDEHJ.

Орбита известного целого класса 7/9
05
BCDEFGH

дополнение AJ · размер орбиты 2

противоположные углы
упрощённое тригонометрическое уравнение (1+sin⁡4α−2sin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α)  \boxed{\ (1+\sin4\alpha-2\sin4\beta)\sin4\gamma =\sin4\beta(1-\sin4\alpha)\ }
RRRRстроит BEHстроит BFGстроит CDHзамыкает CEG
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

b=Lu,h=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuRw,d=RuLwRw, \begin{aligned} b&=L_u,&h&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{R_w},&d&=\frac{R_uL_w}{R_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 (RuRw)2+(LuLv)2=2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{R_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2=2\ }

BEH задаёт b и h вокруг нормированного центра e=1. Эти два конца независимо продолжаются по BFG и CDH. Последняя центральная прогрессия CEG требует, чтобы полученные c² и g² имели средним e²=1.

06
ACEFGHJ

дополнение BD · размер орбиты 4

две соседние боковые клетки у угла
упрощённое тригонометрическое уравнение sin⁡4γ=−(1−sin⁡4α)sin⁡4β  \boxed{\ \sin4\gamma=-(1-\sin4\alpha)\sin4\beta\ }
RRRYстроит AEJстроит AFHстроит CEGзамыкает ACEH
AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
ACEHa2+c2=e2+h2a^2+c^2=e^2+h^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

a=Lu,j=Ru,f=LuLv,h=LuRv,c=Lw,g=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ f&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ c&=L_w,&g&=R_w, \end{aligned}

Координатный остаток

 Lu2+Lw2=1+(LuRv)2  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=1+(L_uR_v)^2\ }

AEJ и CEG — две прогрессии с общим центром e². Прогрессия AFH использует a² как новый центр. После трёх полных параметризаций остаётся только равенство норм ACEH.

07
ACDFGHJ

дополнение BE · размер орбиты 4

боковая клетка и центр
упрощённое тригонометрическое уравнение(cos⁡2γ−sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β+cos⁡2βsin⁡2γ)2=1−sin⁡4β+2sin⁡4αsin⁡4β1+sin⁡4β \boxed{\begin{gathered} \left( \frac{\displaystyle\cos2\gamma- \frac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\sin2\beta+\cos2\beta}} {\displaystyle\sin2\gamma} \right)^2\\ =\frac{1-\sin4\beta+2\sin4\alpha\sin4\beta} {1+\sin4\beta} \end{gathered}}
RRYYстроит AFHстроит CDHстроит ACGJзамыкает ADHJ
AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
ACGJa2+j2=c2+g2a^2+j^2=c^2+g^2
ADHJa2+d2=h2+j2a^2+d^2=h^2+j^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: a=1a=1

h=Lu,f=Ru,c=LuRv,d=LuLvRv,j=Cw−Lu/RvSw,g=Sw+Cwj, \begin{aligned} h&=L_u,&f&=R_u,\\ c&=\frac{L_u}{R_v},&d&=\frac{L_uL_v}{R_v},\\ j&=\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w},& g&=S_w+C_wj, \end{aligned}

Координатный остаток

 1+(LuLvRv)2=Lu2+(Cw−Lu/RvSw)2  \boxed{\ 1+\left(\frac{L_uL_v}{R_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w}\right)^2\ }

Это единственная орбита с оптимальным профилем RRYY. AFH и CDH дают f,h,c,d. Норма ACGJ задаётся рациональным поворотом (1,j)↦(c,g); известная первая координата c определяет j. Вторая норма ADHJ остаётся уравнением совместимости.

08
ACDEFGJ

дополнение BH · размер орбиты 2

противоположные боковые клетки
упрощённое тригонометрическое уравнение sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α  \boxed{\ \sin4\gamma=\sin4\beta-\sin4\alpha\ }
RRRYстроит AEJстроит CEGстроит DEFзамыкает ACDE
AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
ACDEa2+d2=c2+e2a^2+d^2=c^2+e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

a=Lu,j=Ru,c=Lv,g=Rv,d=Lw,f=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ c&=L_v,&g&=R_v,\\ d&=L_w,&f&=R_w, \end{aligned}

Координатный остаток

 Lu2+Lw2=Lv2+1  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=L_v^2+1\ }

Три прогрессии AEJ, CEG и DEF имеют один центр e² и независимо параметризуются тремя углами. Жёлтая квадрика ACDE — единственное соотношение между ними, поэтому здесь итоговое уравнение принимает самый короткий вид.