Magic Squaresproof atlas
← К циклу о частичных конфигурациях

Частичные квадратные конфигурации · 3.7

Маски 7/9: полный тригонометрический атлас

С точностью до вращений и отражений семь квадратных клеток располагаются восемью способами. Для каждой орбиты четыре квадрики сворачиваются в одно уравнение на трёх рациональных углах; ниже выведены все восемь моделей и точно указана граница их полноты.

1. Постановка и восемь орбит

Используется общая координатная форма магического квадрата порядка 3:

(ABCDEFGHJ)=(E+xE−x+yE−yE−x−yEE+x+yE+yE+x−yE−x). \begin{pmatrix} A&B&C\\D&E&F\\G&H&J \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E+x&E-x+y&E-y\\ E-x-y&E&E+x+y\\ E+y&E+x-y&E-x \end{pmatrix}.

Для выбранной семиклеточной маски S записываем P=p² для каждой P∈S. Семь линейных форм от E,x,y имеют ранг 3, поэтому их левое ядро имеет размерность 7−3=4. Иначе говоря, каждая маска 7/9 задаётся ровно четырьмя независимыми однородными квадриками между семью корнями.

dim⁡ker⁡LS T=7−rank⁡LS=4. \dim\ker L_S^{\,T}=7-\operatorname{rank}L_S=4.

Теорема о числе орбит

Существует ровно восемь D₄-орбит семиклеточных масок.

Дополнение содержит две клетки, поэтому достаточно классифицировать неупорядоченные пары позиций. По лемме Бёрнсайда тождество фиксирует C(9,2)=36 пар, повороты на ±90° не фиксируют ни одной, поворот на 180° фиксирует четыре пары противоположных клеток. У каждого из четырёх отражений три неподвижные клетки и три переставляемые пары; фиксированы C(3,2)+3=6 двухэлементных множеств.

N7/9=N2/9=36+0+4+0+4⋅68=8. N_{7/9}=N_{2/9} =\frac{36+0+4+0+4\cdot6}{8}=8.

Восемь типов дополнения — соседние угловая и боковая клетки, два угла одной стороны, угол с центром, ход коня, противоположные углы, две боковые клетки у одного угла, боковая клетка с центром и противоположные боковые клетки. Размеры соответствующих орбит равны 8,4,4,8,2,4,4,2 и в сумме дают все 36 пар.

2. Универсальные координаты одного угла

Пусть t=n/m=tan θ∈P¹(ℚ). Введём четыре рациональные функции:

Ct=1−t21+t2=cos⁡2θ,St=2t1+t2=sin⁡2θ,Lt=St−Ct=t2+2t−11+t2,Rt=St+Ct=1+2t−t21+t2. \begin{aligned} C_t&=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos 2\theta,& S_t&=\frac{2t}{1+t^2}=\sin 2\theta,\\ L_t&=S_t-C_t=\frac{t^2+2t-1}{1+t^2},& R_t&=S_t+C_t=\frac{1+2t-t^2}{1+t^2}. \end{aligned}

Они одновременно параметризуют красную прогрессию квадратов и жёлтое равенство двух норм:

Lt2+Rt2=2,Ct2+St2=1, L_t^2+R_t^2=2,\qquad C_t^2+S_t^2=1,X2+Z2=2Y2⟸(X,Z)=Y(Lt,Rt),P2+Q2=U2+V2⟸(UV)=(Ct−StStCt)(PQ). \begin{aligned} X^2+Z^2=2Y^2 &\Longleftarrow (X,Z)=Y(L_t,R_t),\\ P^2+Q^2=U^2+V^2 &\Longleftarrow \binom UV= \begin{pmatrix}C_t&-S_t\\S_t&C_t\end{pmatrix}\binom PQ. \end{aligned}

Первая строка — рациональная параметризация коники арифметических прогрессий квадратов. Её нормированный ориентированный шаг равен

δθ:=Rt2−1=1−Lt2=sin⁡4θ=4dir⁡(m,n)=4t(1−t2)(1+t2)2. \delta_\theta:=R_t^2-1=1-L_t^2 =\sin4\theta =4\operatorname{dir}(m,n) =\frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}.

Таким образом, в принятой на сайте нормировке угловая координата связана с dir равенством δθ=4dir(m,n). Множитель 4 существенен: для прогрессии квадратов Δ/V=4dir(m,n)=δθ.

Вторая строка — рациональный поворот окружности. Обе параметризации полны над ℚ в проективном смысле: точка t=∞ добавляет недостающую точку обычной аффинной карты, а знаки корней позволяют выбрать компоненту ортогонального преобразования с определителем +1.

Обратный параметр виден непосредственно. Для нормированной красной прогрессии l²+r²=2 полагаем S=(l+r)/2 и C=(r−l)/2; для двух ненулевых векторов одинаковой нормы N полагаем C=(PU+QV)/N и S=(PV−QU)/N. В обоих случаях

t=S1+C(C≠−1),C=−1⟺t=∞. t=\frac{S}{1+C}\quad(C\ne-1),\qquad C=-1\Longleftrightarrow t=\infty.

3. От четырёх квадрик к одному уравнению

Для каждой орбиты выбирается базис левого ядра с лексикографическим приоритетом red > yellow. Получаются профили

RRRY, RRRR, RRRY, RRRR, RRRR, RRRY, RRYY, RRRY. RRRY,\ RRRR,\ RRRY,\ RRRR,\ RRRR,\ RRRY,\ RRYY,\ RRRY.

Первые три отношения в каждой строке атласа используются как строительные. Каждое вводит один рациональный угол и новые корни, сохраняя уже построенные общие клетки. После общей нормировки все семь корней становятся рациональными функциями u,v,w, где u=tan α, v=tan β и w=tan γ. Четвёртая независимая квадрика даёт одно уравнение Fᵢ(α,β,γ)=0.

δα=sin⁡4α,δβ=sin⁡4β,δγ=sin⁡4γ. \delta_\alpha=\sin4\alpha,\qquad \delta_\beta=\sin4\beta,\qquad \delta_\gamma=\sin4\gamma.

Тождества L²=1−δ и R²=1+δ сворачивают шесть из восьми итоговых моделей в линейные по δγ соотношения между тремя функциями sin 4. В типах CDEFGHJ и ACDFGHJ жёлтая норма соединена с красными прогрессиями рациональным поворотом; поэтому в их окончательных формулах дополнительно остаются sin 2 и cos 2. Это две смешанные тригонометрические модели, а не неупрощённые версии остальных шести.

Теорема о полноте трёхугловых карт

На невырожденном рациональном локусе каждой из восьми масок любое решение четырёх исходных квадрик после выбора общего масштаба и знаков корней представляется рациональной тройкой (u,v,w), или эквивалентно тройкой рационально параметризованных углов (α,β,γ), удовлетворяющей выделенному тригонометрическому уравнению соответствующей карточки. Обратно, каждая такая тройка восстанавливает решение по координатным формулам.

Доказательство

Необходимость следует последовательным применением полной параметризации красной коники и рационального поворота жёлтой нормы. В каждой цепочке общая ненулевая клетка определяет следующий масштаб. После трёх шагов остаётся четвёртая базисная квадрика. Подстановка координат и тождества L²=1−sin 4θ, R²=1+sin 4θ переводят её в указанную тригонометрическую форму. В обратную сторону координатные формулы тождественно удовлетворяют первым трём отношениям, а тригонометрическое уравнение эквивалентно четвёртому. Поскольку четыре коэффициентных вектора имеют ранг 4=7−3, вектор семи квадратов лежит в образе Lₛ и восстанавливает единственные E,x,y.

Делители Lᵥ, L𝑤, Rᵥ, R𝑤 и S𝑤 появляются только при восстановлении масштаба из уже известного корня. На положительном попарно различном локусе используемый общий корень ненулевой; в единственном месте с S𝑤 в знаменателе равенство S𝑤=0 заставило бы A=C и также вышло бы из этого локуса. Для проективной границы применяются соседние карты: перестановка концов прогрессии, смена знака корня или точка параметра ∞.

4. Атлас как главный объект

Карточки упорядочены по геометрическому типу двух неквадратных позиций. Цветовая полоса показывает четыре базисных отношения, а крупная рамка — упрощённое тригонометрическое уравнение итоговой трёхугловой поверхности. Координатные подстановки доступны в техническом раскрываемом блоке. Число 7 остаётся нижней гарантией: точка поверхности может дать дополнительную восьмую или девятую квадратную клетку.

Полный тригонометрический атлас

Восемь орбит и восемь уравнений 7/9

Главный объект каждой карточки — упрощённое уравнение на трёх рациональных углах. Шесть орбит выражаются только через sin 4α, sin 4β и sin 4γ; две смешанные орбиты сохраняют также функции двойных углов. Координатное восстановление корней вынесено в раскрываемый технический блок.

красная прогрессия квадратовжёлтое равенство нормR/Y-профиль упорядочен по правилу red > yellow.
01
CDEFGHJ

дополнение AB · размер орбиты 8

соседние угловая и боковая клетки
упрощённое тригонометрическое уравнение(1−sin⁡4α)(1−sin⁡4β)+[cos⁡2γ−sin⁡2γ(sin⁡2α+cos⁡2α)]2=2 \boxed{\begin{gathered} (1-\sin4\alpha)(1-\sin4\beta)\\ +\bigl[\cos2\gamma-\sin2\gamma (\sin2\alpha+\cos2\alpha)\bigr]^2=2 \end{gathered}}
RRRYстроит CDHстроит CEGстроит EFGJзамыкает DEF
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
EFGJe2+g2=f2+j2e^2+g^2=f^2+j^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

c=Lu,g=Ru,d=LuLv,h=LuRv,f=Cw−SwRu,j=Sw+CwRu, \begin{aligned} c&=L_u,&g&=R_u,\\ d&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ f&=C_w-S_wR_u,&j&=S_w+C_wR_u, \end{aligned}

Координатный остаток

 (LuLv)2+(Cw−SwRu)2=2  \boxed{\ (L_uL_v)^2+(C_w-S_wR_u)^2=2\ }

CEG задаёт первую прогрессию, CDH — вторую с центром c². Жёлтая норма EFGJ поворачивает рациональный вектор (1,Rᵤ) в (f,j). После этого неиспользованной остаётся ровно прогрессия DEF.

02
BDEFGHJ

дополнение AC · размер орбиты 4

два угла одной стороны
упрощённое тригонометрическое уравнение(1−2sin⁡4α+sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α \boxed{\begin{gathered} \bigl(1-2\sin4\alpha+\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta-\sin4\alpha \end{gathered}}
RRRRстроит BDJстроит BEHстроит BFGзамыкает DEF
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,g=LuLw,f=LuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ g&=\frac{L_u}{L_w},&f&=\frac{L_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 Ru2+(LuRwLw)2=2(LuLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_w}{L_w}\right)^2 =2\left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2\ }

BDJ фиксирует b и d при j=1. В BEH и BFG известный корень b используется как левый конец двух новых прогрессий; поэтому их масштабы равны Lᵤ/Lᵥ и Lᵤ/L𝑤. Совместимость замыкается прогрессией DEF.

03
BCDFGHJ

дополнение AE · размер орбиты 4

угол и центр
упрощённое тригонометрическое уравнение(1+sin⁡4α−2sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α) \boxed{\begin{gathered} \bigl(1+\sin4\alpha-2\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta(1-\sin4\alpha) \end{gathered}}
RRRYстроит BDJстроит BFGстроит CDHзамыкает BCGH
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
BCGHc2+g2=b2+h2c^2+g^2=b^2+h^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuLw,h=RuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{L_w},&h&=\frac{R_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 (RuLw)2+(LuLv)2=Lu2+(RuRwLw)2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{L_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{R_uR_w}{L_w}\right)^2\ }

BDJ даёт два общих конца для независимых прогрессий BFG и CDH. Три красных коники тем самым выражают все семь корней через u,v,w. Оставшаяся гауссова норма BCGH становится единственным уравнением.

04
BCDEGHJ

дополнение AF · размер орбиты 8

пара клеток на ходе коня
упрощённое тригонометрическое уравнение (1−sin⁡4α)sin⁡4γ=−sin⁡4α(1−sin⁡4β)  \boxed{\ (1-\sin4\alpha)\sin4\gamma =-\sin4\alpha(1-\sin4\beta)\ }
RRRRстроит BDJстроит BEHстроит CEGзамыкает CDH
BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: j=1j=1

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,c=LuLwLv,g=LuRwLv, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{L_uL_w}{L_v},&g&=\frac{L_uR_w}{L_v}, \end{aligned}

Координатный остаток

 Ru2+(LuRvLv)2=2(LuLwLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_v}{L_v}\right)^2 =2\left(\frac{L_uL_w}{L_v}\right)^2\ }

BDJ строит первую dir-линию. Через общий корень b прогрессия BEH определяет масштаб e, а CEG с тем же центром e² вводит c и g. Четвёртая dir-линия CDH даёт итоговое уравнение. Именно в этой D₄-орбите лежит известный квадрат Бремнера—Сэллоуза с маской ABCDEHJ.

Орбита известного целого класса 7/9
05
BCDEFGH

дополнение AJ · размер орбиты 2

противоположные углы
упрощённое тригонометрическое уравнение (1+sin⁡4α−2sin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α)  \boxed{\ (1+\sin4\alpha-2\sin4\beta)\sin4\gamma =\sin4\beta(1-\sin4\alpha)\ }
RRRRстроит BEHстроит BFGстроит CDHзамыкает CEG
BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

b=Lu,h=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuRw,d=RuLwRw, \begin{aligned} b&=L_u,&h&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{R_w},&d&=\frac{R_uL_w}{R_w}, \end{aligned}

Координатный остаток

 (RuRw)2+(LuLv)2=2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{R_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2=2\ }

BEH задаёт b и h вокруг нормированного центра e=1. Эти два конца независимо продолжаются по BFG и CDH. Последняя центральная прогрессия CEG требует, чтобы полученные c² и g² имели средним e²=1.

06
ACEFGHJ

дополнение BD · размер орбиты 4

две соседние боковые клетки у угла
упрощённое тригонометрическое уравнение sin⁡4γ=−(1−sin⁡4α)sin⁡4β  \boxed{\ \sin4\gamma=-(1-\sin4\alpha)\sin4\beta\ }
RRRYстроит AEJстроит AFHстроит CEGзамыкает ACEH
AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
ACEHa2+c2=e2+h2a^2+c^2=e^2+h^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

a=Lu,j=Ru,f=LuLv,h=LuRv,c=Lw,g=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ f&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ c&=L_w,&g&=R_w, \end{aligned}

Координатный остаток

 Lu2+Lw2=1+(LuRv)2  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=1+(L_uR_v)^2\ }

AEJ и CEG — две прогрессии с общим центром e². Прогрессия AFH использует a² как новый центр. После трёх полных параметризаций остаётся только равенство норм ACEH.

07
ACDFGHJ

дополнение BE · размер орбиты 4

боковая клетка и центр
упрощённое тригонометрическое уравнение(cos⁡2γ−sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β+cos⁡2βsin⁡2γ)2=1−sin⁡4β+2sin⁡4αsin⁡4β1+sin⁡4β \boxed{\begin{gathered} \left( \frac{\displaystyle\cos2\gamma- \frac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\sin2\beta+\cos2\beta}} {\displaystyle\sin2\gamma} \right)^2\\ =\frac{1-\sin4\beta+2\sin4\alpha\sin4\beta} {1+\sin4\beta} \end{gathered}}
RRYYстроит AFHстроит CDHстроит ACGJзамыкает ADHJ
AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
ACGJa2+j2=c2+g2a^2+j^2=c^2+g^2
ADHJa2+d2=h2+j2a^2+d^2=h^2+j^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: a=1a=1

h=Lu,f=Ru,c=LuRv,d=LuLvRv,j=Cw−Lu/RvSw,g=Sw+Cwj, \begin{aligned} h&=L_u,&f&=R_u,\\ c&=\frac{L_u}{R_v},&d&=\frac{L_uL_v}{R_v},\\ j&=\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w},& g&=S_w+C_wj, \end{aligned}

Координатный остаток

 1+(LuLvRv)2=Lu2+(Cw−Lu/RvSw)2  \boxed{\ 1+\left(\frac{L_uL_v}{R_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w}\right)^2\ }

Это единственная орбита с оптимальным профилем RRYY. AFH и CDH дают f,h,c,d. Норма ACGJ задаётся рациональным поворотом (1,j)↦(c,g); известная первая координата c определяет j. Вторая норма ADHJ остаётся уравнением совместимости.

08
ACDEFGJ

дополнение BH · размер орбиты 2

противоположные боковые клетки
упрощённое тригонометрическое уравнение sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α  \boxed{\ \sin4\gamma=\sin4\beta-\sin4\alpha\ }
RRRYстроит AEJстроит CEGстроит DEFзамыкает ACDE
AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
ACDEa2+d2=c2+e2a^2+d^2=c^2+e^2
Координатное восстановление корней

Нормировка: e=1e=1

a=Lu,j=Ru,c=Lv,g=Rv,d=Lw,f=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ c&=L_v,&g&=R_v,\\ d&=L_w,&f&=R_w, \end{aligned}

Координатный остаток

 Lu2+Lw2=Lv2+1  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=L_v^2+1\ }

Три прогрессии AEJ, CEG и DEF имеют один центр e² и независимо параметризуются тремя углами. Жёлтая квадрика ACDE — единственное соотношение между ними, поэтому здесь итоговое уравнение принимает самый короткий вид.

5. Пошаговый вывод всех восьми уравнений

1. CDEFGHJ · RRRY

Дополнение AB: соседние угловая и боковая клетки. CEG задаёт первую прогрессию, CDH — вторую с центром c². Жёлтая норма EFGJ поворачивает рациональный вектор (1,Rᵤ) в (f,j). После этого неиспользованной остаётся ровно прогрессия DEF.

Шаг 1: CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Шаг 2: CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Шаг 3: EFGJe2+g2=f2+j2e^2+g^2=f^2+j^2
Остаток: DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2

После нормировки e=1e=1 остаток DEF упрощается до

(1−sin⁡4α)(1−sin⁡4β)+[cos⁡2γ−sin⁡2γ(sin⁡2α+cos⁡2α)]2=2 \boxed{\begin{gathered} (1-\sin4\alpha)(1-\sin4\beta)\\ +\bigl[\cos2\gamma-\sin2\gamma (\sin2\alpha+\cos2\alpha)\bigr]^2=2 \end{gathered}}
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

c=Lu,g=Ru,d=LuLv,h=LuRv,f=Cw−SwRu,j=Sw+CwRu, \begin{aligned} c&=L_u,&g&=R_u,\\ d&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ f&=C_w-S_wR_u,&j&=S_w+C_wR_u, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток DEF имеет вид

 (LuLv)2+(Cw−SwRu)2=2  \boxed{\ (L_uL_v)^2+(C_w-S_wR_u)^2=2\ }

2. BDEFGHJ · RRRR

Дополнение AC: два угла одной стороны. BDJ фиксирует b и d при j=1. В BEH и BFG известный корень b используется как левый конец двух новых прогрессий; поэтому их масштабы равны Lᵤ/Lᵥ и Lᵤ/L𝑤. Совместимость замыкается прогрессией DEF.

Шаг 1: BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
Шаг 2: BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
Шаг 3: BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
Остаток: DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2

После нормировки j=1j=1 остаток DEF упрощается до

(1−2sin⁡4α+sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α \boxed{\begin{gathered} \bigl(1-2\sin4\alpha+\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta-\sin4\alpha \end{gathered}}
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,g=LuLw,f=LuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ g&=\frac{L_u}{L_w},&f&=\frac{L_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток DEF имеет вид

 Ru2+(LuRwLw)2=2(LuLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_w}{L_w}\right)^2 =2\left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2\ }

3. BCDFGHJ · RRRY

Дополнение AE: угол и центр. BDJ даёт два общих конца для независимых прогрессий BFG и CDH. Три красных коники тем самым выражают все семь корней через u,v,w. Оставшаяся гауссова норма BCGH становится единственным уравнением.

Шаг 1: BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
Шаг 2: BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
Шаг 3: CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Остаток: BCGHc2+g2=b2+h2c^2+g^2=b^2+h^2

После нормировки j=1j=1 остаток BCGH упрощается до

(1+sin⁡4α−2sin⁡4αsin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α) \boxed{\begin{gathered} \bigl(1+\sin4\alpha-2\sin4\alpha\sin4\beta\bigr)\sin4\gamma\\ =\sin4\beta(1-\sin4\alpha) \end{gathered}}
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

b=Lu,d=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuLw,h=RuRwLw, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{L_w},&h&=\frac{R_uR_w}{L_w}, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток BCGH имеет вид

 (RuLw)2+(LuLv)2=Lu2+(RuRwLw)2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{L_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{R_uR_w}{L_w}\right)^2\ }

4. BCDEGHJ · RRRR

Дополнение AF: пара клеток на ходе коня. BDJ строит первую dir-линию. Через общий корень b прогрессия BEH определяет масштаб e, а CEG с тем же центром e² вводит c и g. Четвёртая dir-линия CDH даёт итоговое уравнение. Именно в этой D₄-орбите лежит известный квадрат Бремнера—Сэллоуза с маской ABCDEHJ.

Шаг 1: BDJb2+d2=2j2b^2+d^2=2j^2
Шаг 2: BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
Шаг 3: CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Остаток: CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2

После нормировки j=1j=1 остаток CDH упрощается до

 (1−sin⁡4α)sin⁡4γ=−sin⁡4α(1−sin⁡4β)  \boxed{\ (1-\sin4\alpha)\sin4\gamma =-\sin4\alpha(1-\sin4\beta)\ }
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

b=Lu,d=Ru,e=LuLv,h=LuRvLv,c=LuLwLv,g=LuRwLv, \begin{aligned} b&=L_u,&d&=R_u,\\ e&=\frac{L_u}{L_v},&h&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{L_uL_w}{L_v},&g&=\frac{L_uR_w}{L_v}, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток CDH имеет вид

 Ru2+(LuRvLv)2=2(LuLwLv)2  \boxed{\ R_u^2+\left(\frac{L_uR_v}{L_v}\right)^2 =2\left(\frac{L_uL_w}{L_v}\right)^2\ }

5. BCDEFGH · RRRR

Дополнение AJ: противоположные углы. BEH задаёт b и h вокруг нормированного центра e=1. Эти два конца независимо продолжаются по BFG и CDH. Последняя центральная прогрессия CEG требует, чтобы полученные c² и g² имели средним e²=1.

Шаг 1: BEHb2+h2=2e2b^2+h^2=2e^2
Шаг 2: BFGb2+f2=2g2b^2+f^2=2g^2
Шаг 3: CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Остаток: CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2

После нормировки e=1e=1 остаток CEG упрощается до

 (1+sin⁡4α−2sin⁡4β)sin⁡4γ=sin⁡4β(1−sin⁡4α)  \boxed{\ (1+\sin4\alpha-2\sin4\beta)\sin4\gamma =\sin4\beta(1-\sin4\alpha)\ }
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

b=Lu,h=Ru,g=LuLv,f=LuRvLv,c=RuRw,d=RuLwRw, \begin{aligned} b&=L_u,&h&=R_u,\\ g&=\frac{L_u}{L_v},&f&=\frac{L_uR_v}{L_v},\\ c&=\frac{R_u}{R_w},&d&=\frac{R_uL_w}{R_w}, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток CEG имеет вид

 (RuRw)2+(LuLv)2=2  \boxed{\ \left(\frac{R_u}{R_w}\right)^2+ \left(\frac{L_u}{L_v}\right)^2=2\ }

6. ACEFGHJ · RRRY

Дополнение BD: две соседние боковые клетки у угла. AEJ и CEG — две прогрессии с общим центром e². Прогрессия AFH использует a² как новый центр. После трёх полных параметризаций остаётся только равенство норм ACEH.

Шаг 1: AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
Шаг 2: AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
Шаг 3: CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Остаток: ACEHa2+c2=e2+h2a^2+c^2=e^2+h^2

После нормировки e=1e=1 остаток ACEH упрощается до

 sin⁡4γ=−(1−sin⁡4α)sin⁡4β  \boxed{\ \sin4\gamma=-(1-\sin4\alpha)\sin4\beta\ }
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

a=Lu,j=Ru,f=LuLv,h=LuRv,c=Lw,g=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ f&=L_uL_v,&h&=L_uR_v,\\ c&=L_w,&g&=R_w, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток ACEH имеет вид

 Lu2+Lw2=1+(LuRv)2  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=1+(L_uR_v)^2\ }

7. ACDFGHJ · RRYY

Дополнение BE: боковая клетка и центр. Это единственная орбита с оптимальным профилем RRYY. AFH и CDH дают f,h,c,d. Норма ACGJ задаётся рациональным поворотом (1,j)↦(c,g); известная первая координата c определяет j. Вторая норма ADHJ остаётся уравнением совместимости.

Шаг 1: AFHf2+h2=2a2f^2+h^2=2a^2
Шаг 2: CDHd2+h2=2c2d^2+h^2=2c^2
Шаг 3: ACGJa2+j2=c2+g2a^2+j^2=c^2+g^2
Остаток: ADHJa2+d2=h2+j2a^2+d^2=h^2+j^2

После нормировки a=1a=1 остаток ADHJ упрощается до

(cos⁡2γ−sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β+cos⁡2βsin⁡2γ)2=1−sin⁡4β+2sin⁡4αsin⁡4β1+sin⁡4β \boxed{\begin{gathered} \left( \frac{\displaystyle\cos2\gamma- \frac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\sin2\beta+\cos2\beta}} {\displaystyle\sin2\gamma} \right)^2\\ =\frac{1-\sin4\beta+2\sin4\alpha\sin4\beta} {1+\sin4\beta} \end{gathered}}
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

h=Lu,f=Ru,c=LuRv,d=LuLvRv,j=Cw−Lu/RvSw,g=Sw+Cwj, \begin{aligned} h&=L_u,&f&=R_u,\\ c&=\frac{L_u}{R_v},&d&=\frac{L_uL_v}{R_v},\\ j&=\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w},& g&=S_w+C_wj, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток ADHJ имеет вид

 1+(LuLvRv)2=Lu2+(Cw−Lu/RvSw)2  \boxed{\ 1+\left(\frac{L_uL_v}{R_v}\right)^2 =L_u^2+\left(\frac{C_w-L_u/R_v}{S_w}\right)^2\ }

8. ACDEFGJ · RRRY

Дополнение BH: противоположные боковые клетки. Три прогрессии AEJ, CEG и DEF имеют один центр e² и независимо параметризуются тремя углами. Жёлтая квадрика ACDE — единственное соотношение между ними, поэтому здесь итоговое уравнение принимает самый короткий вид.

Шаг 1: AEJa2+j2=2e2a^2+j^2=2e^2
Шаг 2: CEGc2+g2=2e2c^2+g^2=2e^2
Шаг 3: DEFd2+f2=2e2d^2+f^2=2e^2
Остаток: ACDEa2+d2=c2+e2a^2+d^2=c^2+e^2

После нормировки e=1e=1 остаток ACDE упрощается до

 sin⁡4γ=sin⁡4β−sin⁡4α  \boxed{\ \sin4\gamma=\sin4\beta-\sin4\alpha\ }
Координатная подстановка и обратное восстановление

Первые три отношения дают корни

a=Lu,j=Ru,c=Lv,g=Rv,d=Lw,f=Rw, \begin{aligned} a&=L_u,&j&=R_u,\\ c&=L_v,&g&=R_v,\\ d&=L_w,&f&=R_w, \end{aligned}

До тригонометрического упрощения остаток ACDE имеет вид

 Lu2+Lw2=Lv2+1  \boxed{\ L_u^2+L_w^2=L_v^2+1\ }

6. Что этот атлас решает — и что остаётся открытым

Атлас завершает позиционную и геометрическую редукцию 7/9 на невырожденном локусе: не остаётся неразобранных масок или неуказанного обратного перехода. Для любой заданной семиклеточной маски рационального решения можно определить её D₄-орбиту, восстановить три угла и получить точку соответствующей поверхности; из такой точки корни и магический квадрат восстанавливаются обратно. Если квадрат имеет восемь или девять квадратных клеток, разные его семиклеточные подмаски закономерно попадают в несколько карточек.

Это ещё не классификация всех рациональных точек Fᵢ=0 и тем более не классификация положительных целых точек. Известный квадрат Бремнера—Сэллоуза лежит в орбите BCDEGHJ, эквивалентной его маске ABCDEHJ, и использует четыре красные dir-линии. Доказательство отсутствия других целых классов потребовало бы решить арифметическую задачу на всех восьми поверхностях с условиями положительности, попарной различности и целочисленности.

Открыть атлас отдельно →Теория dir-линийАтлас 6/9