Частичные квадратные конфигурации · 3.1

Арифметические прогрессии квадратов и dir-функция

Линейная структура магического квадрата 3×3 выделяет восемь троек клеток, значения в которых всегда образуют арифметические прогрессии. Если значения этих клеток должны быть квадратами, каждая тройка приводит к одной и той же рациональной конике. Её полная параметризация позволяет отделить общий масштаб прогрессии от её формы и ввести нормированный шаг dir(m,n).

1. Восемь прогрессий магического квадрата

По теореме об общей форме любой магический квадрат 3×3 однозначно определяется тремя координатами E,x,y. При принятой нумерации клеток он имеет вид

\begin{pmatrix}A&B&C\\D&E&F\\G&H&J\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E+x&E-x+y&E-y\\ E-x-y&E&E+x+y\\ E+y&E+x-y&E-x \end{pmatrix}.

Три клетки U,V,W образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда U+W=2V. Для общего магического квадрата это тождество выполняется ровно для следующих восьми путей, если не различать путь и его обращение:

Тип	Путь	Тождество
Через центр	$J,E,A$	$J+A=2E$
	$H,E,B$	$H+B=2E$
	$C,E,G$	$C+G=2E$
	$D,E,F$	$D+F=2E$
Ход конём	$F,A,H$	$F+H=2A$
	$D,C,H$	$D+H=2C$
	$B,G,F$	$B+F=2G$
	$B,J,D$	$B+D=2J$

В первых четырёх последовательностях средним членом служит центр квадрата. В каждой из остальных четырёх переход от первого члена ко второму и затем от второго к третьему геометрически является шахматным ходом коня; поэтому их будем называть прогрессиями ходом коня.

Полнота списка

После вычитания E девять клеток имеют коэффициенты при x,y

\begin{pmatrix} (1,0)&(-1,1)&(0,-1)\\ (-1,-1)&(0,0)&(1,1)\\ (0,1)&(1,-1)&(-1,0) \end{pmatrix}.

Пусть v — коэффициентный вектор средней клетки. Два различных конца с векторами u и w образуют с ней прогрессию тогда и только тогда, когда w=2v−u также присутствует в таблице. Для v=(0,0) существуют четыре противоположные пары; для каждого из четырёх угловых векторов (±1,0),(0,±1) — ровно одна пара; для четырёх боковых векторов пар нет. Следовательно, перечисленные восемь прогрессий исчерпывают все тождества вида U+W=2V между различными клетками общего магического квадрата.

2. Полная параметризация трёх квадратов

Рассмотрим одну из найденных прогрессий и потребуем, чтобы все три её члена были рациональными квадратами. Записав их как r²,s²,t² в порядке прогрессии, получаем

r^2+t^2=2s^2.

Таким образом, одна квадратная прогрессия задаётся рациональной точкой на конике. Следующая теорема описывает все её точки.

Теорема

Все рациональные решения уравнения r²+t²=2s² и только они задаются формулами

\begin{aligned} r&=k(-m^2+2mn+n^2),\\ s&=k(m^2+n^2),\\ t&=k(m^2+2mn-n^2), \end{aligned} \qquad k,m,n\in\mathbb Q.

Следовательно, r²,s²,t² образуют арифметическую прогрессию. Знаки r,s,t не влияют на её квадратные члены.

Прямое направление

Непосредственное раскрытие скобок даёт

r^2+t^2=2k^2(m^2+n^2)^2=2s^2,

поэтому s²−r²=t²−s².

Обратное направление

Пусть r²+t²=2s². Введём

u=\frac{r+t}{2},\qquad v=\frac{t-r}{2}.

Тогда u²+v²=s². Если s+v≠0, положим

m=s+v,\qquad n=u,\qquad k=\frac1{2(s+v)}.

Из u²=s²−v² следуют равенства

2kmn=u,\qquad k(m^2-n^2)=v,\qquad k(m^2+n^2)=s.

Так как r=u−v и t=u+v, получаются в точности заявленные формулы. В исключительном случае s+v=0 имеем u=0 и v=−s; его покрывает выбор m=0,n=1,k=s. Нулевое решение покрывается k=0. Значит, параметризация сюръективна.

3. Примитивные целочисленные прогрессии

Для ненулевой целочисленной тройки корней назовём представление примитивным, если gcd(r,s,t)=1. Всякая непостоянная примитивная тройка после выбора знаков корней и, при необходимости, обращения прогрессии получается из взаимно простых целых m,n разной чётности при k=1. Произвольная целочисленная тройка получается последующим умножением всех корней на общий целый множитель k.

Доказательство

Из r²+t²=2s² по модулю 2 следует, что r и t имеют одинаковую чётность. Если бы оба были чётными, то s²=2((r/2)²+(t/2)²) также было бы чётным, а значит, чётным было бы и s; это противоречит примитивности тройки. Поэтому r и t нечётны. Квадрат нечётного числа сравним с 1 по модулю 8, так что 2s²=r²+t²≡2 (mod 8). Следовательно, s²≡1 (mod 4), и s тоже нечётно. Теперь u=(r+t)/2 и v=(t−r)/2 целые и удовлетворяют u²+v²=s². Их общий делитель делил бы r=u−v, t=u+v, а затем и s, поэтому gcd(u,v)=1. Одинаковой чётности они также быть не могут: чётность 0 противоречит взаимной простоте, а сумма двух нечётных квадратов не является квадратом по модулю 4.

После перестановки u,v можно считать u чётным. Тогда (s+v)(s−v)=u², причём gcd(s+v,s−v)=2. Поэтому взаимно простые числа (s+v)/2 и (s−v)/2 имеют квадратное произведение и сами являются квадратами m² и n². Получаем u=2mn, v=m²−n², s=m²+n², где gcd(m,n)=1 и m,n разной чётности. Возвращение к r=u−v и t=u+v даёт формулы предыдущей теоремы.

Постоянная прогрессия r²=s²=t² соответствует вырожденному случаю mn(m²−n²)=0. В задачах с попарно различными клетками этот случай исключается.

4. Нормированный шаг dir(m,n)

Параметр k отвечает только за общий масштаб корней: его умножение на λ умножает все три квадратных члена на λ². Для сопоставления прогрессий внутри одного магического квадрата удобно выделить величины, зависящие только от отношения m:n. Введём

f(m,n)=mn(m^2-n^2),\qquad c(m,n)=(m^2+n^2)^2,\qquad \operatorname{dir}(m,n)=\frac{f(m,n)}{c(m,n)}.

Для параметризованной прогрессии её средний квадрат V=s² и ориентированный шаг Δ=s²−r²=t²−s² равны

V=k^2c(m,n),\qquad \Delta=4k^2f(m,n).

Если V≠0, общий масштаб k сокращается и остаётся безразмерное отношение

\frac{\Delta}{V}=4\operatorname{dir}(m,n).

5. Восемь прогрессий в координатах dir

Вернёмся к общему магическому квадрату. Для каждой из восьми прогрессий средний член V и ориентированный шаг Δ являются линейными формами от E,x,y. Если её три члена — ненулевые рациональные квадраты, параметризация предыдущего раздела переводит условие квадратности в уравнение Δ/V=4dir(m,n):

Путь	$V$	$\Delta$	Нормированное уравнение
$J,E,A$	$E$	$x$	$\frac{x}{E}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$H,E,B$	$E$	$y-x$	$\frac{y-x}{E}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$C,E,G$	$E$	$y$	$\frac{y}{E}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$D,E,F$	$E$	$x+y$	$\frac{x+y}{E}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$H,A,F$	$E+x$	$y$	$\frac{y}{E+x}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$D,C,H$	$E-y$	$x$	$\frac{x}{E-y}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$B,G,F$	$E+y$	$x$	$\frac{x}{E+y}=4\operatorname{dir}(m,n)$
$B,J,D$	$E-x$	$-y$	$\frac{-y}{E-x}=4\operatorname{dir}(m,n)$

Дробная запись удобна для сравнения линий, но не нужна для существования: однородные равенства V=k²c(m,n) и Δ=4k²f(m,n) остаются корректными и при V=0.

6. Симметрии параметров

Функция dir зависит только от отношения m:n и учитывает ориентацию прогрессии. Непосредственно из определения следуют тождества

\begin{aligned} \operatorname{dir}(\lambda m,\lambda n)&=\operatorname{dir}(m,n),& \operatorname{dir}(n,m)&=-\operatorname{dir}(m,n),\\ \operatorname{dir}(m,-n)&=-\operatorname{dir}(m,n),& \operatorname{dir}(m+n,m-n)&=\operatorname{dir}(m,n), \end{aligned} \qquad \lambda\ne0.

Смена знака dir обращает порядок квадратных членов, а сохранение dir оставляет тот же нормированный шаг. Поэтому параметры одной прогрессии не уникальны. При работе с целыми примитивными тройками удобно выбирать m,n взаимно простыми, разной чётности и фиксировать порядок и знаки отдельно.

7. Конгруэнтные числа и квадратный класс шага

Из прогрессии r²,s²,t² с шагом Δ получается прямоугольный треугольник

(t-r)^2+(t+r)^2=(2s)^2,\qquad \frac{(t-r)(t+r)}2=\Delta.

Следовательно, положительный целый шаг является конгруэнтным числом. Для произвольного положительного рационального шага та же конструкция задаёт рациональный прямоугольный треугольник площади Δ; после умножения на рациональный квадрат можно выбрать целого представителя того же квадратного класса. Поскольку Δ=4k²f(m,n),

[\Delta]=[f(m,n)].

Две параметризованные прогрессии можно масштабировать до одного и того же ненулевого шага тогда и только тогда, когда отношение их f-значений является рациональным квадратом. Для целых параметров этот класс можно кодировать свободной от квадратов частью f(m,n); именно отсюда далее возникает tfmn-подход.

8. От одной прогрессии к квадратным конфигурациям

Параметризация одной прогрессии является полным локальным строительным блоком: она перечисляет все рациональные прогрессии квадратов и после примитивной нормализации — все целочисленные. Если квадратная конфигурация 4/9 или 5/9 содержит только одну нелинейную связь такого типа, сначала выбирается параметризованная прогрессия, после чего E,x,y восстанавливаются из оставшихся линейных условий.

При наличии нескольких квадратных прогрессий их параметры должны одновременно описывать общие клетки и одни и те же координаты E,x,y. Поэтому локальные параметризации дополняются уравнениями совместимости масштабов. Совпадение квадратных классов шагов приводит к уравнениям равенства значений tf, лежащим в основе метода tfmn; другие способы совмещения дают коники, уравнения норм и эллиптические кривые. Так параметризация одной прогрессии переходит в теорию конфигураций 5/9, 6/9 и 7/9.

fmn и tfmn →Общая теория масок 4/9 и 5/9