Магические квадраты 3×3 — общая форма и доказательство классификации

1. Носитель и определение

Пусть A — абелева группа в аддитивной записи. Магическим квадратом 3×3 над A назовём таблицу, у которой суммы трёх строк, трёх столбцов и двух главных диагоналей равны одному элементу M∈A. Абелева группа — естественная общая граница теории: в доказательстве нужны сложение, нуль и вычитание, но не нужны умножение, порядок или деление.

Q=\begin{pmatrix}A&B&C\\D&E&F\\G&H&J\end{pmatrix},\qquad A+B+C=\cdots=C+E+G=M.

Если A является модулем над кольцом R, то сложение квадратов и умножение всех клеток на один скаляр выполняются поклеточно. Полная классификация ниже совместима с этой модульной структурой.

2. Магическая константа

Теорема

В любом магическом квадрате 3×3 над абелевой группой магическая константа равна утроенному центральному элементу:

M=3E.

Доказательство

Обозначим сумму всех девяти клеток через T. Сложение трёх строк даёт T=3M. Теперь сложим среднюю строку, средний столбец и две диагонали. Каждая нецентральная клетка встретится один раз, а центр — четыре раза. Поэтому эта сумма одновременно равна 4M и T+3E:

T=3M,\qquad (D+E+F)+(B+E+H)+(A+E+J)+(C+E+G)=T+3E=4M.

Подставляя T=3M и сокращая 3M в абелевой группе, получаем M=3E. Деление на 3 здесь не использовалось. Из четырёх линий, проходящих через центр, сразу следует дополнительное равенство противоположных пар:

A+J=B+H=C+G=D+F=2E.

3. Полная форма m(E,x,y)

Теорема о классификации

Для любой абелевой группы A каждый магический квадрат 3×3 над A единственным образом представляется в следующем виде, где E,x,y∈A:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Сюръективность: каждый магический квадрат имеет эту форму

Пусть дан произвольный магический квадрат Q. Положим x=A−E и y=G−E. Тогда A=E+x и G=E+y. Из равенств противоположных пар получаем J=E−x и C=E−y. Нижняя строка и первая колонка затем дают H=E+x−y и D=E−x−y, а противоположные им клетки равны B=E−x+y и F=E+x+y. Тем самым все девять клеток имеют заявленный вид.

\begin{aligned} x&=A-E,& y&=G-E,\\ A&=E+x,& G&=E+y,\\ J&=2E-A=E-x,& C&=2E-G=E-y,\\ H&=3E-G-J=E+x-y,& B&=2E-H=E-x+y,\\ D&=3E-A-G=E-x-y,& F&=2E-D=E+x+y. \end{aligned}

Следовательно, для каждого Q∈𝓜₃(A) найден прообраз (E,x,y), то есть отображение Φₐ:A³→𝓜₃(A) сюръективно.

Корректность: каждый набор координат даёт магический квадрат

Для любых E,x,y восемь требуемых сумм вычисляются непосредственно. Ни одно из равенств не использует деление:

\begin{aligned} (E+x)+(E-x+y)+(E-y)&=3E,\\ (E-x-y)+E+(E+x+y)&=3E,\\ (E+y)+(E+x-y)+(E-x)&=3E,\\ (E+x)+(E-x-y)+(E+y)&=3E,\\ (E-x+y)+E+(E+x-y)&=3E,\\ (E-y)+(E+x+y)+(E-x)&=3E,\\ (E+x)+E+(E-x)&=3E,\\ (E-y)+E+(E+y)&=3E. \end{aligned}

Инъективность: координаты единственны

Координаты восстанавливаются без выбора и без знаменателей: E — центральная клетка, x=A−E, y=G−E. Поэтому два различных набора координат не могут задавать один квадрат.

(E,x,y)=\bigl(Q_{22},\ Q_{11}-Q_{22},\ Q_{31}-Q_{22}\bigr).

4. Группа, модуль и векторное пространство

Обозначим множество магических квадратов 3×3 над A через 𝓜₃(A). Теорема задаёт изоморфизм абелевых групп A³≅𝓜₃(A). Если A — R-модуль, этот изоморфизм R-линеен:

\begin{aligned} \Phi_A:A^3&\longrightarrow\mathcal M_3(A),&(E,x,y)&\longmapsto\mathcal M(E,x,y),\\ \mathcal M(E_1,x_1,y_1)+\mathcal M(E_2,x_2,y_2) &=\mathcal M(E_1+E_2,x_1+x_2,y_1+y_2),\\ r\mathcal M(E,x,y)&=\mathcal M(rE,rx,ry). \end{aligned}

Для коммутативного кольца R это свободный R-модуль с тремя явными базисными матрицами:

\mathcal M(E,x,y)=E S_0+xS_1+yS_2,

S_0=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\quad S_1=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix},\quad S_2=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}.

В частности, над любым полем K пространство 𝓜₃(K) трёхмерно. Это утверждение относится к поклеточному сложению и умножению на скаляр; обычное матричное умножение магические квадраты в общем случае не сохраняет.

5. Различные области коэффициентов

Носитель	Структура	Точное следствие
$A$	абелева группа	$\mathcal M_3(A)\cong A^3$
$R$	коммутативное кольцо	свободный R-модуль ранга 3
$K$	поле	$\dim_K\mathcal M_3(K)=3$
$\mathbb R$	упорядоченное поле	фиксированное M задаёт аффинную плоскость E=M/3
$\mathbb Q$	рациональное поле	общий знаменатель переводит квадрат в целочисленный
$\mathbb Z$	свободная абелева группа	$\mathcal M_3(\mathbb Z)\cong\mathbb Z^3$

Вещественные числа

Над ℝ получаем трёхмерное вещественное векторное пространство. При фиксированной магической константе M координата E=M/3 фиксирована, а x и y свободны, поэтому получается двумерная аффинная плоскость. Положительность клеток задаётся девятью линейными неравенствами, а попарная различность — исключением конечного набора прямых в плоскости (x,y).

Рациональные числа

Рациональные клетки эквивалентны рациональным координатам E,x,y. Умножение на общий знаменатель координат переводит любой рациональный магический квадрат в целочисленный. Если требуется сохранить представление клеток именно рациональными квадратами, берут общий знаменатель их квадратных корней и умножают весь квадрат на квадрат этого знаменателя.

Целые числа

Целочисленный магический квадрат имеет целые E,x,y, поскольку эти координаты являются целочисленными разностями его клеток; обратное очевидно из формулы. Магическая константа обязательно делится на 3. Кроме того, примитивность полностью читается по координатам:

\gcd\{\text{девять клеток}\}=\gcd(E,x,y),

Действительно, каждая клетка — целочисленная линейная комбинация E,x,y, а E,x,y, в свою очередь, являются целочисленными линейными комбинациями клеток. Поэтому два НОД делят друг друга.

Поля положительной характеристики

Форма m(E,x,y) и трёхмерность сохраняются в любой характеристике, но привычная геометрия может вырождаться. В характеристике 3 каждый магический квадрат имеет M=3E=0, поэтому M уже не определяет центр. В характеристике 2 противоположные клетки совпадают, а четыре боковые клетки B,D,F,H имеют одно значение; квадрат не может иметь девять попарно различных клеток:

\operatorname{char}K=2:\qquad A=J,\quad C=G,\quad B=D=F=H.

Над кольцом, где 2 или 3 не обратимы, безопасно пользоваться беззнаменательной формой и восстановлением E=Q₂₂, x=A−E, y=G−E. Формулы E=M/3, x=(A−J)/2 и y=(G−C)/2 допустимы только при обратимости соответствующих элементов.

6. Граница линейной теории

Теорема классифицирует все магические квадраты 3×3, но сама по себе ничего не утверждает о положительности, различности или квадратности клеток. Положительность требует порядка; понятие полного квадрата требует умножения; одновременная квадратность выбранных линейных форм превращает линейную задачу в диофантову. Именно с этой точки начинаются задачи k/9, теория вычетов, нормы и эллиптические поверхности.

Открыть m(E,x,y) в калькуляторе ↗Перейти к теории 4/9 и 5/9