Магические квадраты 3×3 с 4 или 5 квадратными клетками

1. Координатная модель

Любой обычный магический квадрат порядка 3 над коммутативным кольцом записывается в трёх координатах E, x, y:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Одновременно девять клеточных форм образуют матрицу

\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\\G\\H\\J\end{pmatrix}=L\begin{pmatrix}E\\x\\y\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&1\\1&0&-1\\1&-1&-1\\1&0&0\\1&1&1\\1&0&1\\1&1&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}

Для маски S вводим независимые целые корни qₚ и записываем исходную систему без сокращений:

L_S\begin{pmatrix}E\\x\\y\end{pmatrix}=q_S^{[2]},\qquad q_S^{[2]}=(q_P^2)_{P\in S}

Здесь утверждается квадратность всех клеток S, но не неквадратность дополнения. Поэтому термин k/9 далее означает «как минимум эти k клеток являются квадратами».

2. Теорема исключения и достаточности

Коэффициентные пары (x,y) девяти клеток образуют решётку 3×3. Четыре различные точки этой решётки не лежат на одной прямой; следовательно, для любой маски из четырёх или пяти клеток матрица Lₛ имеет ранг 3.

\dim\ker L_S^T=|S|-3=\begin{cases}1,&|S|=4,\\2,&|S|=5.\end{cases}

Пусть R₁,…,R|S|−3 — базис левого ядра. Необходимость уравнений Rᵢ(q²)=0 получается умножением исходной системы слева. Обратно, над Q ортогональное дополнение левого ядра совпадает с образом Lₛ. Поэтому эти уравнения достаточны и дают единственную тройку E, x, y.

q_S^{[2]}\in\operatorname{im}L_S\quad\Longleftrightarrow\quad R_i(q_S^{[2]})=0\quad(1\le i\le |S|-3)

Для целочисленности выбираем ненулевой минор δ порядка 3. Формулы Крамера имеют знаменатель δ. Замена каждого корня qₚ на δqₚ умножает правую часть на δ² и превращает координаты в целые:

q_P\mapsto\delta q_P,\qquad q_P^2\mapsto\delta^2q_P^2,\qquad (E,x,y)\mapsto\delta^2(E,x,y)\in\mathbb Z^3

3. Почему орбит ровно 23

Группа D₄ действует вращениями и отражениями, сохраняя центр, множество четырёх углов и множество четырёх сторон. По лемме Бёрнсайда числа неподвижных пятиэлементных масок равны 126 для тождества, 2 для каждого поворота на ±90°, 6 для поворота на 180° и 12 для каждого из четырёх отражений. Поэтому

N_{5/9}=\frac{126+2+6+2+4\cdot12}{8}=23

Тот же результат получается топологически для четырёх клеток. Без центра выбираются четыре клетки периметра: случаи 0 или 4 угла дают 2 орбиты, случаи 1 или 3 угла — 4, а случай 2+2 распадается на 7; итого 13. С центром выбираются три клетки периметра: крайние случаи дают 2, а типы 1+2 и 2+1 — по 4; итого 10. Сумма 13+10=23.

Дополнение маски коммутирует с D₄ и задаёт биекцию между орбитами 4/9 и 5/9. Именно здесь исходный PDF пропустил ACDH, а вслед за ним дополнительную маску BEFGJ.

Доказательная таблица

Все 23 орбиты и квадрики 4/9

Цвет клетки совпадает с цветом квадрики, в которую входит её квадратное значение. Пересечение двух опор делится между двумя цветами.

Верхний блок — исходная система; цветные полосы — квадрики:Красная арифметическая прогрессияЗелёная диагональная квадрикаЖёлтое равенство двух суммТёмно-серая диагональная квадрикаГолубая норма x² + 2y²Коричневая взвешенная квадрикаСветло-серая диагональная квадрика

ACEG →

Центр и три угла

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

c^2+g^2=2e^2

BDEF →

Центр и три стороны

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

ABCE →

Центр, соседние углы и сторона между ними

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\end{aligned}\right.

a^2+b^2+c^2=3e^2

ACEH →

Центр, соседние углы и противоположная сторона

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

a^2+c^2=e^2+h^2

ACDE →

Центр, соседние углы и сторона при одном из них

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\end{aligned}\right.

a^2+d^2=c^2+e^2

ABEJ →

Центр, противоположные углы и сторона

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

ABDE →

Центр, соседние стороны и угол между ними

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\end{aligned}\right.

2a^2+b^2+d^2=4e^2

BDEJ →

Центр, соседние стороны и противоположный угол

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

BCDE →

Центр, соседние стороны и угол при одной из них

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\end{aligned}\right.

b^2+2c^2=d^2+2e^2

ABEH →

Центр, противоположные стороны и угол

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

b^2+h^2=2e^2

BDFH →

Четыре стороны

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

b^2+h^2=d^2+f^2

ACGJ →

Четыре угла

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=c^2+g^2

BDFG →

Три стороны и внешний угол

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

b^2+f^2=2g^2

ABCG →

Три угла и внутренняя сторона

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

2a^2+2b^2=c^2+3g^2

ACFG →

Три угла и внешняя сторона

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

2a^2+g^2=c^2+2f^2

ABDF →

Три стороны и внутренний угол

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

2a^2+b^2=d^2+2f^2

ACDF →

Соседние углы и не общие стороны при них

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

2a^2+d^2=2c^2+f^2

ABCH →

Соседние углы, общая сторона и противоположная сторона

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

2a^2+2c^2=b^2+3h^2

ABCD →

Соседние углы и две стороны при одном из них

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\end{aligned}\right.

2a^2+3d^2=b^2+4c^2

ABDJ →

Противоположные углы и стороны при одном из них

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

ABFJ →

Противоположные углы и соседние стороны при них

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E+x+y&=f^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+b^2=f^2+j^2

ABHJ →

Противоположные углы и противоположные стороны

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=b^2+h^2

ACDH →

Соседние углы и соседние стороны при невыбранном угле

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

2c^2=d^2+h^2

4. Общая параметризация квадрик 4/9

Для четырёх клеток исключение оставляет одну диагональную квадрику Σkᵢqᵢ²=0. Поскольку Σkᵢ=0, любая знаковая точка ε с координатами ±1 лежит на ней. Для направления u прямая через ε даёт универсальную проекционную формулу:

D=\sum_{i=1}^4k_iu_i^2,\quad L_\varepsilon=\sum_{i=1}^4k_i\varepsilon_i u_i,\quad q_i=D\varepsilon_i-2L_\varepsilon u_i

\sum k_iq_i^2=D^2\sum k_i\varepsilon_i^2-4DL_\varepsilon^2+4L_\varepsilon^2D=0

Для полноты достаточно четырёх строк матрицы Адамара H. Если все kᵢ ненулевые и q* — ненулевая рациональная точка квадрики, то из det H=−16 следует, что хотя бы одно спаривание Lε(q*) ненулевое. В соответствующей карте подстановка u=q* даёт D=0 и q=−2Lε(q*)q*: получена та же проективная точка. После очистки знаменателей это даёт алгоритмическое покрытие целых решений.

H=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix},\qquad \det H=-16

Красная вырожденная квадрика имеет один нулевой коэффициент: соответствующий четвёртый корень свободен, а нетривиальная коника параметризуется отдельно и полностью:

r=-a^2+2ab+b^2,\quad s=a^2+b^2,\quad t=a^2+2ab-b^2,\quad r^2+t^2=2s^2

5. Цветовая дифференциация

Цвет закрепляется не за позицией клетки, а за конкретным уравнением левого ядра. В большой матрице цветом отмечаются только фактические квадратные значения; в миниатюре — опоры выбранных уравнений. Пересечение двух опор делит миниатюру на два цвета.

Цвета упорядочены по предпочтительности. При построении цветового базиса сначала выбирается доступное отношение наиболее предпочтительного типа:

\mathrm{red}>\mathrm{yellow}>\mathrm{blue}>\mathrm{green}>\mathrm{brown}>\mathrm{dark\ gray}>\mathrm{light\ gray}

Для маски 5/9 после первого отношения выбирается наиболее предпочтительное отношение, линейно независимое от него. При одинаковом цветовом приоритете дополнительная математическая иерархия не вводится. Разные оттенки одного цвета нужны только для визуального разделения равноправных групп и не несут отдельной семантики.

Красная лемма: три квадрата в арифметической прогрессии

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

После подстановки тройки в соответствующие позиции Magic3 линейное равенство восстанавливает общие координаты E, x, y.

Жёлтая лемма: равенство двух сумм квадратов

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

Конкретная перестановка U, V, W, Z указана в доказательстве семейства; цветом отмечены ровно участвующие клетки.

Голубая лемма: норма в Q(√−2)

Голубая четвёрка кодирует взвешенное равенство квадратов, полученное композицией нормы u² + 2v².

u=ac+2bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-2bd,\quad z=ad+bc

u^2+2v^2=w^2+2z^2=(a^2+2b^2)(c^2+2d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+2V=W+2Z

Коэффициенты 1 и 2 объясняют, почему голубая опора не совпадает с обычным равенством двух сумм.

Коричневая лемма: взвешенная коника

Коричневая четвёрка ABCG подчиняется отдельному взвешенному соотношению; в семействе ABCDG оно совмещено с жёлтой нормой.

2A+2B=C+3G

A=a^2,\quad B=b^2,\quad C=c^2,\quad G=g^2

2a^2+2b^2-c^2-3g^2=0

Полиномиальная параметризация этой коники и её совместимость с B+C=D+G закреплены сертификатом yellow_brown_abcdg_square_mask.

Проекционная лемма для диагональной квадрики

Любая невырожденная четырёхчленная диагональная квадрика с суммой коэффициентов ноль покрывается четырьмя знаковыми проекционными картами.

Q(q)=k_1q_1^2+k_2q_2^2+k_3q_3^2+k_4q_4^2,\qquad \sum_{i=1}^4k_i=0

H=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix},\qquad \det H=-16

\varepsilon\in\operatorname{rows}(H),\quad D=\sum k_iu_i^2,\quad L_\varepsilon=\sum k_i\varepsilon_i u_i,\quad q_i=D\varepsilon_i-2L_\varepsilon u_i

Q(q)=D^2Q(\varepsilon)-4DL_\varepsilon^2+4L_\varepsilon^2D=0

Q(q^*)=0:\quad H(k_1q_1^*,\ldots,k_4q_4^*)^T\ne0\Longrightarrow\exists\varepsilon:\ L_\varepsilon(q^*)\ne0

u=q^*\Longrightarrow D=0,\qquad q=-2L_\varepsilon(q^*)q^*

Четыре строки H дают конечное покрытие всех ненулевых рациональных точек при kᵢ ≠ 0. Общий знаменатель очищается однородным масштабированием корней; случай нулевого коэффициента выделяется в красную конику со свободным корнем.

6. Переход от 4/9 к 5/9

Пять клеток дают две независимые квадрики. Канонический цветовой базис выбирается среди отношений 4/9-подмасок по установленному выше цветовому приоритету: сначала лучшее доступное отношение, затем лучшее независимое от него. Любой другой базис того же двумерного левого ядра эквивалентен и не меняет ни множество решений, ни достаточность системы.

\ker L_S^T=\langle R_{\mathrm{color}_1},R_{\mathrm{color}_2}\rangle\quad\Longrightarrow\quad \{R_1(q^2)=R_2(q^2)=0\}\Longleftrightarrow\exists!\,(E,x,y)

Доказательная таблица

Все 23 орбиты и пары квадрик 5/9

Верхний блок — исходная система; цветные полосы — квадрики:Красная арифметическая прогрессияКрасная арифметическая прогрессияЖёлтое равенство двух суммГолубая норма x² + 2y²Голубая норма x² + 2y²Коричневая взвешенная коника

ACEGJ →

Дополнение к типу 4/9 «Четыре стороны»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

c^2+g^2=2e^2

BDEFH →

Дополнение к типу 4/9 «Четыре угла»

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

b^2+h^2=2e^2

ABEHJ →

Дополнение к типу 4/9 «Противоположные углы и противоположные стороны»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

b^2+h^2=2e^2

BDEFJ →

Дополнение к типу 4/9 «Три угла и внешняя сторона»

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

b^2+d^2=2j^2

BDFGJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние углы и противоположная сторона»

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

b^2+f^2=2g^2

ABDEJ →

Дополнение к типу 4/9 «Противоположные углы и соседние стороны при них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

b^2+d^2=2j^2

BDFHJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр и три угла»

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

b^2+h^2=d^2+f^2

ABDFJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, противоположные углы и сторона»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

a^2+b^2=f^2+j^2

ACEHJ →

Дополнение к типу 4/9 «Три стороны и внешний угол»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

c^2+e^2=h^2+j^2

ACDEG →

Дополнение к типу 4/9 «Три стороны и внутренний угол»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

c^2+g^2=2e^2

a^2+d^2=c^2+e^2

ABCEH →

Дополнение к типу 4/9 «Соседние углы и не общие стороны при них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E&=e^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

b^2+h^2=2e^2

a^2+c^2=e^2+h^2

ACDEF →

Дополнение к типу 4/9 «Соседние углы, общая сторона и противоположная сторона»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

a^2+d^2=c^2+e^2

ABEFJ →

Дополнение к типу 4/9 «Противоположные углы и стороны при одном из них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=2e^2

a^2+b^2=f^2+j^2

ABFGJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние стороны и противоположный угол»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+f^2=2g^2

a^2+b^2=f^2+j^2

BEFGJ →

Дополнение к типу 4/9 «Соседние углы и соседние стороны при невыбранном угле»

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+f^2=2g^2

b^2+e^2=g^2+j^2

ABCDH →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние углы и сторона при одном из них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

d^2+h^2=2c^2

b^2+2h^2=d^2+2a^2

ABCDJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние стороны и угол при одной из них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

b^2+d^2=2j^2

a^2+2d^2=j^2+2c^2

ABDEF →

Дополнение к типу 4/9 «Три угла и внутренняя сторона»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

d^2+f^2=2e^2

b^2+2a^2=d^2+2f^2

ABCGJ →

Дополнение к типу 4/9 «Центр и три стороны»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E+y&=g^2\\E-x&=j^2\end{aligned}\right.

a^2+j^2=c^2+g^2

c^2+2b^2=g^2+2j^2

ABCGH →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, противоположные стороны и угол»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E+y&=g^2\\E+x-y&=h^2\end{aligned}\right.

b^2+h^2=c^2+g^2

g^2+2h^2=c^2+2a^2

ABCDE →

Дополнение к типу 4/9 «Соседние углы и две стороны при одном из них»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E&=e^2\end{aligned}\right.

a^2+d^2=c^2+e^2

b^2+2c^2=d^2+2e^2

ABCDF →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние углы и сторона между ними»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+x+y&=f^2\end{aligned}\right.

b^2+2a^2=d^2+2f^2

d^2+2a^2=f^2+2c^2

ABCDG →

Дополнение к типу 4/9 «Центр, соседние стороны и угол между ними»

\left\{\begin{aligned}E+x&=a^2\\E-x+y&=b^2\\E-y&=c^2\\E-x-y&=d^2\\E+y&=g^2\end{aligned}\right.

b^2+c^2=d^2+g^2

2a^2+2b^2=c^2+3g^2

Индивидуальное доказательство обязано не только проверить эти две квадрики, но и вывести совместную параметризацию корней. Полнота указывается отдельно: доказанная, алгоритмически восстанавливаемая через НОД и знаки либо пока неизвестная. Проверка тождества сама по себе полноты не доказывает.