ABCGH: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCGH

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCGH являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,G,H\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E+y&=q_G^2,\\E+x-y&=q_H^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

P=a^2-b^2,\qquad Q=2ab,\qquad N=a^2+b^2,\qquad P^2+Q^2=N^2

U=c^2-2d^2,\qquad V=2cd,\qquad M=c^2+2d^2,\qquad U^2+2V^2=M^2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

\begin{aligned}A&=(-QM-NV-PU)^2,&B&=(QM+2NV-PU)^2,\\C&=(2PV-NU)^2,&G&=(-2QV-NM)^2,\\H&=(-PM-QU)^2.\end{aligned}

Подставляем выписанные полиномиальные корни в обе квадрики. Смешанные члены попарно сокращаются; оставшиеся части сокращаются по P²+Q²=N² и U²+2V²=M². Получаются два равенства, записанные ниже. Делений в формулах корней нет.

B+H-C-G=0

G+2H-C-2A=0

B+H=C+G,\qquad G+2H=C+2A

Отдельно параметризуем две нормы: P²+Q²=N² и U²+2V²=M². После этой подстановки две клеточные квадрики становятся однородной линейной системой по билинейным произведениям PU, PV, QU, QV, NM и другим указанным произведениям. Выписанные пять корней — её совместимые миноры; прямое раскрытие в следующей строке показывает, что никаких дополнительных делений или скрытых условий для этой карты нет.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=\left(\frac{C+G}{2},\,A-\frac{C+G}{2},\,\frac{G-C}{2}\right)

Если одно из делений на 2 нецелое, умножим каждый выписанный корень на 2. Тогда все значения клеток умножатся на 4, все однородные тождества сохранятся, а числители станут чётными. Именно эту нормализацию выполняет генератор.

q_P\mapsto2q_P,\qquad P=q_P^2\mapsto4P

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCGH}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,G,H)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCGH. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Жёлтое равенство двух сумм

B+H=C+G

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, C, G, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Голубая норма x² + 2y²

G+2H=C+2A

Голубая четвёрка кодирует взвешенное равенство квадратов, полученное композицией нормы u² + 2v².

u=ac+2bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-2bd,\quad z=ad+bc

u^2+2v^2=w^2+2z^2=(a^2+2b^2)(c^2+2d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+2V=W+2Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, C, G, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Всё множество рациональных векторов корней, удовлетворяющих двум квадрикам этой маски, включая нулевой вектор. Целые решения понимаются проективно: после очистки знаменателей, с точностью до знаков корней и общего масштаба.

P^2+Q^2=N^2,\qquad \Delta=N(3N^2-4Q^2)=N(3P^2-Q^2)\ne0

U^2+2V^2=M^2

Обратный ход

Сначала по жёлтой паре восстанавливается рациональный поворот P²+Q²=N². После этого общие корни дают линейную систему для U,V,M. Указанный минор \Delta=N(3N^2-4Q^2)=N(3P^2-Q^2) ненулевой у каждой ненулевой рациональной точки: в ABCDE остаётся сумма 3P²+Q², а в двух других масках равенство Q²=3P² над Q возможно только при P=Q=0. Поэтому система обращается, а U²+2V²=M² затем полностью параметризуется второй парой параметров.

Что остаётся вне гарантии

Непокрытых рациональных ветвей нет. Возможные нулевые знаменатели обратной карты либо устраняются сменой знаков корней, либо вынуждают весь вектор корней быть нулевым; нулевой вектор формула также получает.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Полнота доказана над рациональными решениями обеих квадрик.

Текст согласован с универсальным полиномиальным сертификатом proof-core.yellow_blue_five_square_masks