ABCH: 4 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCH

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 4 клетки маски ABCH являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,H\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — целые числа. Никаких условий положительности или различности для теоремы не требуется: утверждается наличие как минимум четырёх квадратных клеток.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E+x-y&=q_H^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 1 независимых однородных квадратичных уравнение на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

(k_1,k_2,k_3,k_4)=(2,-1,2,-3),\qquad k_1+k_2+k_3+k_4=0

D=k_1a^2+k_2b^2+k_3c^2,\qquad L=k_1a+k_2b+k_3c

(q_A,q_B,q_C,q_H)=3d\,(D-2La,\,D-2Lb,\,D-2Lc,\,D)

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,C,H)=(q_A^2,q_B^2,q_C^2,q_H^2)

Это проекция диагональной квадрики из рациональной точки (1,1,1,1). Подстановка корней сокращается тождественно: член D² исчезает по сумме коэффициентов, смешанный член равен −4DL², а квадратичный — +4L²D.

2q_A^2+2q_C^2=q_B^2+3q_H^2

Для полноты берём четыре строки ε матрицы Адамара H из общей леммы и однородную знаковую формулу qᵢ=Dεᵢ−2Lεuᵢ. Все kᵢ здесь ненулевые. Для ненулевой рациональной точки q* вектор (kᵢqᵢ*) ненулевой, а det H=−16, поэтому хотя бы для одной строки Lε(q*)≠0. Подстановка u=q* даёт D=0 и новый вектор корней −2Lε(q*)q*, то есть ту же проективную точку. Отображаемая формула — аффинная карта ε=(1,1,1,1), u₄=0; остальные три знаковые карты закрывают её исключительные образующие. Знаменатели очищаются общим множителем d.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=\left(\frac{A+B+C}{3},,\frac{2A-B-C}{3},,\frac{A+B-2C}{3}\right)

Множитель δ=3 равен модулю ненулевого минора матрицы выбранных клеточных форм. Умножение корней на δ умножает значения на δ², поэтому формулы Крамера для E, x, y становятся целочисленными.

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{1}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCH}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,H)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{4}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCH. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Коричневая взвешенная квадрика

2A+2C=B+3H

Любая невырожденная четырёхчленная диагональная квадрика с суммой коэффициентов ноль покрывается четырьмя знаковыми проекционными картами.

Q(q)=k_1q_1^2+k_2q_2^2+k_3q_3^2+k_4q_4^2,\qquad \sum_{i=1}^4k_i=0

H=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix},\qquad \det H=-16

\varepsilon\in\operatorname{rows}(H),\quad D=\sum k_iu_i^2,\quad L_\varepsilon=\sum k_i\varepsilon_i u_i,\quad q_i=D\varepsilon_i-2L_\varepsilon u_i

Q(q)=D^2Q(\varepsilon)-4DL_\varepsilon^2+4L_\varepsilon^2D=0

Q(q^*)=0:\quad H(k_1q_1^*,\ldots,k_4q_4^*)^T\ne0\Longrightarrow\exists\varepsilon:\ L_\varepsilon(q^*)\ne0

u=q^*\Longrightarrow D=0,\qquad q=-2L_\varepsilon(q^*)q^*

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, B, C, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные решения единственной квадрики данной маски, включая нулевое решение. После очистки знаменателей это означает все целые проективные классы с точностью до знаков корней, общего масштаба, общего НОД и симметрий D₄.

(q_P)_{P\in S}\in V_S(\mathbb Q),\qquad R_S(q)=0

Обратный ход

Четыре знаковые карты — строки матрицы Адамара. Для любого ненулевого вектора корней хотя бы одно спаривание Lε ненулевое, поскольку det H=−16; соответствующая карта возвращает ту же проективную точку.

Что остаётся вне гарантии

Исключительного множества у объединения карт нет. Исключительная образующая одной аффинной карты закрывается одной из трёх остальных знаковых карт.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Параметризация полна над рациональными точками и алгоритмически полна после очистки знаменателей.

Формулы проверяются точным целочисленным сертификатом браузерного генератора; перенос в proof-core ещё не завершён.four_of_nine_abch_orbit