BEFGJ: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство BEFGJ

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски BEFGJ являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{B,E,F,G,J\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Теорема гарантирует квадратность B, E, F, G, J, но не запрещает дополнительным клеткам также оказаться квадратами.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=b_0^2,&E&=e_0^2,&E+x+y&=f_0^2,\\E+y&=g_0^2,&E-x&=j_0^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2,\qquad K=t^2-s^2

\lambda=2cd,\qquad b_0=\lambda r,\quad g_0=\lambda s,\quad f_0=\lambda t

e_0=Kd^2+c^2,\qquad j_0=Kd^2-c^2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(B,E,F,G,J)=(b_0^2,e_0^2,f_0^2,g_0^2,j_0^2)

Красная квадрика параметризуется тройкой r,s,t. Для второй квадрики используем разность квадратов: произведение (e₀−j₀)(e₀+j₀) выбирается равным λ²(t²−s²). Это и есть рациональная параметризация гиперболы совместимости после очистки знаменателей.

B+F=\lambda^2(r^2+t^2)=2\lambda^2s^2=2G

e_0^2-j_0^2=(2c^2)(2Kd^2)=4c^2d^2(t^2-s^2)=f_0^2-g_0^2

E+G=F+J

B+E-G-J=(B+F-2G)+(E+G-F-J)=0

B+E=G+J

Обратный алгоритм сначала параметризует красную конику B+F=2G. Затем равенство E−J=F−G на уровне значений переписывается как (e₀−j₀)(e₀+j₀)=(f₀−g₀)(f₀+g₀). Если хотя бы одна из клеток E,J ненулевая, знаки корней можно выбрать так, чтобы e₀−j₀≠0; после общего масштабирования два множителя дают рациональные c,d. Ветвь E=J=0 разбирается отдельно в разделе полноты.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=(E,\,E-J,\,G-E)

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{BEFGJ}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(B,E,F,G,J)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской BEFGJ. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

B+F=2G

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, G, F; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Жёлтое равенство двух сумм

B+E=G+J

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, E, G, J; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: точное условное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные решения, для которых хотя бы одна из клеток E,J ненулевая, а также нулевое решение. Иными словами, покрывается всё семейство, кроме явно указанной ниже ненулевой прямой.

(E,J)\ne(0,0)\quad\text{or}\quad(B,E,F,G,J)=(0,0,0,0,0)

Обратный ход

После полного обращения красной коники выбираем знаки корней e,j так, чтобы e−j≠0. Для целевой точки можно взять общий масштаб L=2(e−j), затем c=e−j и d, определённый равенством Kd²=L(e+j)/2. Равенство (e−j)(e+j)=f²−g² делает d рациональным и возвращает все пять корней с общим множителем L.

Что остаётся вне гарантии

Единственная непокрытая компонента текущей карты: E=J=0 и B=F=G≠0. На ней обе связи выполняются, но формулы e₀=Kd²+c² и j₀=Kd²−c² вынуждают c=0, затем λ=2cd=0, поэтому ненулевую постоянную красную тройку получить нельзя.

\operatorname{Exc}(\Phi_{BEFGJ})=\{E=J=0,\ B=F=G\ne0\}

Полнота доказана на дополнении к одной ненулевой рациональной прямой и в нулевой точке; сама прямая этой формулой не покрывается.

Формулы проверяются точным целочисленным сертификатом браузерного генератора; перенос в proof-core ещё не завершён.red_yellow_befgj_square_mask