BDFG: 4 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство BDFG

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 4 клетки маски BDFG являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{B,D,F,G\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — целые числа. Никаких условий положительности или различности для теоремы не требуется: утверждается наличие как минимум четырёх квадратных клеток.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=q_B^2,\\E-x-y&=q_D^2,\\E+x+y&=q_F^2,\\E+y&=q_G^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 1 независимых однородных квадратичных уравнение на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

q_B=4dr,\quad q_G=4ds,\quad q_F=4dt,\quad q_D=4cd

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(B,D,F,G)=(q_B^2,q_D^2,q_F^2,q_G^2)

Раскрытие скобок в первой строке даёт полную рациональную параметризацию коники трёх квадратов в арифметической прогрессии. Четвёртый корень не входит в единственную связь и потому остаётся свободным.

q_B^2+q_F^2=2q_G^2

Обратно, рациональную точку красной коники соединяем прямой с точкой (1,1,1). Наклон прямой даёт отношение a:b, общий множитель переходит в d, а свободный четвёртый корень — в c. После очистки знаменателей получаются именно выписанные r, s, t. Поэтому параметризация полна с точностью до знаков корней и общего масштаба.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=\left(\frac{D+F}{2},,\frac{-B+F}{2},,\frac{B-D}{2}\right)

Множитель δ=4 равен модулю ненулевого минора матрицы выбранных клеточных форм. Умножение корней на δ умножает значения на δ², поэтому формулы Крамера для E, x, y становятся целочисленными.

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{1}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{BDFG}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(B,D,F,G)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{4}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской BDFG. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

B+F=2G

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, F, G; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные решения единственной квадрики данной маски, включая нулевое решение. После очистки знаменателей это означает все целые проективные классы с точностью до знаков корней, общего масштаба, общего НОД и симметрий D₄.

(q_P)_{P\in S}\in V_S(\mathbb Q),\qquad R_S(q)=0

Обратный ход

Красная коника имеет рациональную точку (1,1,1), поэтому проекция прямыми даёт все её рациональные точки; четвёртый корень свободен.

Что остаётся вне гарантии

Исключительного множества у объединения карт нет. Исключительная образующая одной аффинной карты закрывается одной из трёх остальных знаковых карт.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Параметризация полна над рациональными точками и алгоритмически полна после очистки знаменателей.

Формулы проверяются точным целочисленным сертификатом браузерного генератора; перенос в proof-core ещё не завершён.four_of_nine_bdfg_orbit