Семейство ABCDF
Теорема и полное доказательство
Общая теория орбит 4/9 и 5/9 →Утверждение
При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCDF являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.
Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.
Исходная система и исключение E, x, y
Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:
Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.
Вывод параметризации корней
Введём следующие вспомогательные целые величины:
Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:
Подстановка этих пяти миноров в две голубые квадрики и раскрытие скобок оставляет только множители U₁²+2V₁²−M₁² и U₂²+2V₂²−M₂²; оба равны нулю. Поэтому выполнены обе совместимые нормы.
Обе голубые квадрики сначала приводим к двум копиям Uᵢ²+2Vᵢ²=Mᵢ². Исключение общих клеточных корней даёт матрицу совместимости ранга четыре; пять показанных выражений являются её максимальными минорами. Общий множитель M₂ очищает единственный знаменатель, а две нормовые формулы сокращают остатки обеих исходных квадрик до нуля.
Восстановление магического квадрата
Используем стандартную трёхкоординатную форму:
Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:
Если одно из делений на 2 нецелое, умножим каждый выписанный корень на 2. Тогда все значения клеток умножатся на 4, все однородные тождества сохранятся, а числители станут чётными. Именно эту нормализацию выполняет генератор.
Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.
Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому
Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCDF. Что и требовалось доказать.
Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве
Голубая норма x² + 2y²
Голубая четвёрка кодирует взвешенное равенство квадратов, полученное композицией нормы u² + 2v².
В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, B, D, F; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.
Общая формулировка и доказательство →Голубая норма x² + 2y²
Голубая четвёрка кодирует взвешенное равенство квадратов, полученное композицией нормы u² + 2v².
В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, C, D, F; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.
Общая формулировка и доказательство →Полнота покрытия
Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.
Максимально широкое гарантированное подмножество
Всё множество рациональных векторов корней, удовлетворяющих двум квадрикам этой маски, включая нулевой вектор. Целые решения понимаются проективно: после очистки знаменателей, с точностью до знаков корней и общего масштаба.
Обратный ход
Из двух голубых равенств восстанавливаются два рациональных поворота нормы X²+2Y². Матрица совместимости имеет ненулевой минор Δ=M₁(M₁²−6V₁²). Его зануление у ненулевой рациональной нормовой тройки потребовало бы M₁/V₁=√6; следовательно, ранг равен трём и вектор миноров возвращает единственную проективную линию совместимых корней.
Что остаётся вне гарантии
Непокрытых рациональных ветвей нет. Возможные нулевые знаменатели обратной карты либо устраняются сменой знаков корней, либо вынуждают весь вектор корней быть нулевым; нулевой вектор формула также получает.
Полнота доказана над рациональными решениями обеих квадрик.