Magic Squaresproof atlas
alpha · 0.6.0

Математическая мастерская

Лаборатория квадратов

Управляйте произвольным квадратом через E, x, y или получите эти координаты из параметрического семейства.

Красно-красные

ABEHJ

E4 225x−3 000y1 056
Матрица 3 × 3 · значенияΣ = 12 675
A1 225
B8 281
C3 169
D6 169
E4 225
F2 281
G5 281
H169
J7 225

кирпичная рамка отмечает значение — полный квадрат

✓
Магический инвариант8 линий совпадают
✓
Заявленная маскаABEHJ · подтверждена
✓
Фактический результат5/9 квадратов
✓
Невырожденность9 попарно различных

Семейство ABEHJ

Теорема и полное доказательство

Общая теория орбит 4/9 и 5/9 →

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABEHJ являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

{A,B,E,H,J}⊆{P:MP(E,x,y)=rP2}\{A,B,E,H,J\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

{E+x=qA2,E−x+y=qB2,E=qE2,E+x−y=qH2,E−x=qJ2.\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E&=q_E^2,\\E+x-y&=q_H^2,\\E-x&=q_J^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

k1=a2+b2,k2=c2+d2k_1=a^2+b^2,\qquad k_2=c^2+d^2r−=k2(−a2+2ab+b2),r0=k2(a2+b2),r+=k2(a2+2ab−b2)r_-=k_2(-a^2+2ab+b^2),\quad r_0=k_2(a^2+b^2),\quad r_+=k_2(a^2+2ab-b^2)s−=k1(−c2+2cd+d2),s0=k1(c2+d2),s+=k1(c2+2cd−d2)s_-=k_1(-c^2+2cd+d^2),\quad s_0=k_1(c^2+d^2),\quad s_+=k_1(c^2+2cd-d^2)r0=s0=k1k2r_0=s_0=k_1k_2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,E,H,J)=(r+2,s−2,r02,s+2,r−2)(A,B,E,H,J)=(r_+^2,s_-^2,r_0^2,s_+^2,r_-^2)

Раскрытие скобок в тождестве (-u²+2uv+v²)²+(u²+2uv-v²)²=2(u²+v²)², сначала для (a,b), затем для (c,d), даёт две требуемые прогрессии квадратов с общим средним корнем.

r−2+r+2=2r02,s−2+s+2=2s02r_-^2+r_+^2=2r_0^2,\qquad s_-^2+s_+^2=2s_0^2A+J=2E,B+H=2EA+J=2E,\qquad B+H=2E

Начинаем с двух копий красной коники r²+t²=2s². Каждая рациональная тройка корней получается стандартной парой параметров. Чтобы две тройки имели одну и ту же клетку, умножаем первую тройку на выделенный корень второй, а вторую — на выделенный корень первой; именно эти перекрёстные множители обозначены k₁ и k₂. После этой однородной склейки общий корень совпадает тождественно, а перестановка остальных четырёх корней даёт указанную маску.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

M(E,x,y)=(E+xE−x+yE−yE−x−yEE+x+yE+yE+x−yE−x)\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=(E, A−E, A−H)(E,x,y)=(E,\,A-E,\,A-H)

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

LS(E,x,y)T=(qP2)P∈S,ker⁡LST=⟨R1,…,R2⟩L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

πABEHJ ⁣(M(E,x,y))=(A,B,E,H,J)∈{n2:n∈Z}5\pi_{ABEHJ}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,E,H,J)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABEHJ. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

A+J=2EA+J=2E

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=−a2+2ab+b2,s=a2+b2,t=a2+2ab−b2r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2r2+t2=2s2r^2+t^2=2s^2(U,V,W)=(k2r2, k2s2, k2t2)⟹U+W=2V(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, E, J; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Красная арифметическая прогрессия

B+H=2EB+H=2E

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=−a2+2ab+b2,s=a2+b2,t=a2+2ab−b2r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2r2+t2=2s2r^2+t^2=2s^2(U,V,W)=(k2r2, k2s2, k2t2)⟹U+W=2V(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, E, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Всё множество рациональных векторов корней, удовлетворяющих двум квадрикам этой маски, включая нулевой вектор. Целые решения понимаются проективно: после очистки знаменателей, с точностью до знаков корней и общего масштаба.

(qP)P∈S∈VS(Q),qE≠0(q_P)_{P\in S}\in V_S(\mathbb Q),\qquad q_E\ne0qE=0⟹(qP)P∈S=0q_E=0\Longrightarrow(q_P)_{P\in S}=0

Обратный ход

При q_E≠0 обе красные коники обращаются стандартной полной параметризацией, а перекрёстные множители выравнивают их масштабы по общему корню. При q_E=0 соответствующая красная связь над Q вынуждает соседние корни обратиться в нуль: для среднего корня используется сумма двух квадратов, для крайнего — иррациональность √2. Вторая красная связь затем также даёт нулевой вектор.

Что остаётся вне гарантии

Непокрытых рациональных ветвей нет. Возможные нулевые знаменатели обратной карты либо устраняются сменой знаков корней, либо вынуждают весь вектор корней быть нулевым; нулевой вектор формула также получает.

Exc⁡(ΦS)=∅\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Полнота доказана над рациональными решениями обеих квадрик.

Текст восстанавливает legacy-параметризацию; перенос машинного сертификата в proof-core ещё не завершён.legacy_red_red_abehj