ABCDJ: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCDJ

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCDJ являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,D,J\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E-x-y&=q_D^2,\\E-x&=q_J^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2,\qquad r^2+t^2=2s^2

P=c^2+2d^2,\qquad Q=2cd,\qquad M=c^2-2d^2,\qquad P^2-2Q^2=M^2

\mathcal T_{P,Q}(u,v)=(Pu+2Qv,\,Qu+Pv)

\mathcal T_{P,Q}(u,v)_1^2-2\mathcal T_{P,Q}(u,v)_2^2=M^2(u^2-2v^2)

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,C,D,J)=((Ps+2Qt)^2,(Mr)^2,(Qs+Pt)^2,(Mt)^2,(Ms)^2)

Красная связь — масштабированная тройка (r,s,t). Голубая получается применением T к паре (s,t).

B+D=M^2(r^2+t^2)=2M^2s^2=2J

A-2C=M^2(s^2-2t^2)=J-2D\quad\Longleftrightarrow\quad A+2D=J+2C

Красная квадрика даёт r, s, t. Оставшаяся голубая квадрика является равенством значений формы X²−2Y². Её рациональная коника параметризуется P=c²+2d², Q=2cd, M=c²−2d², после чего умножение в Q(√2) задаёт линейное преобразование T(P,Q). Решение двух клеточных квадрик относительно оставшихся корней даёт ровно выписанные компоненты T; масштаб M приклеивает их к красной тройке.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=\left(\frac{A+J}{2},\,\frac{A-J}{2},\,J-D\right)

Если одно из делений на 2 нецелое, умножим каждый выписанный корень на 2. Тогда все значения клеток умножатся на 4, все однородные тождества сохранятся, а числители станут чётными. Именно эту нормализацию выполняет генератор.

q_P\mapsto2q_P,\qquad P=q_P^2\mapsto4P

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCDJ}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,D,J)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCDJ. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

B+D=2J

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, D, J; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Голубая норма x² + 2y²

A+2D=J+2C

Голубая четвёрка кодирует взвешенное равенство квадратов, полученное композицией нормы u² + 2v².

u=ac+2bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-2bd,\quad z=ad+bc

u^2+2v^2=w^2+2z^2=(a^2+2b^2)(c^2+2d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+2V=W+2Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, C, D, J; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Всё множество рациональных векторов корней, удовлетворяющих двум квадрикам этой маски, включая нулевой вектор. Целые решения понимаются проективно: после очистки знаменателей, с точностью до знаков корней и общего масштаба.

(q_P)_{P\in S}\in V_S(\mathbb Q)

Обратный ход

Красная коника обращается полностью. Два представления одной формы X²−2Y² отличаются рациональным элементом нормы-квадрата в Q(√2); коника P²−2Q²=M² параметризует все такие элементы. Нулевая норма над Q не создаёт отдельной ветви, поскольку 2 не является рациональным квадратом.

Что остаётся вне гарантии

Непокрытых рациональных ветвей нет. Возможные нулевые знаменатели обратной карты либо устраняются сменой знаков корней, либо вынуждают весь вектор корней быть нулевым; нулевой вектор формула также получает.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Полнота доказана над рациональными решениями обеих квадрик.

Текст согласован с универсальным полиномиальным сертификатом proof-core.red_blue_five_square_masks