BDFHJ: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство BDFHJ

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски BDFHJ являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{B,D,F,H,J\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d целые. После данных ниже определений требуется в точности g₁g₂ ≠ 0; тогда частные p и q определены и целочисленны. Нулевые ветви этого деления данной формулой не заявляются.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E-x+y&=q_B^2,\\E-x-y&=q_D^2,\\E+x+y&=q_F^2,\\E+x-y&=q_H^2,\\E-x&=q_J^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

\alpha=b,\quad\beta=a,\quad \rho=-\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2,\quad \sigma=\alpha^2+\beta^2,\quad \tau=\alpha^2+2\alpha\beta-\beta^2

g_1=\gcd(2\alpha\beta,c),\quad g_2=\gcd(\alpha^2-\beta^2,d),\quad p=\frac{2\alpha\beta}{g_1},\quad q=\frac{\alpha^2-\beta^2}{g_2}

u=pg_1+qg_2=\tau,\quad v=pg_2-qg_1,\quad w=pg_1-qg_2=\rho,\quad z=pg_2+qg_1

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(B,D,F,H,J)=(u^2,w^2,z^2,v^2,\sigma^2)

Красное тождество даёт u²+w²=2σ². Гауссово тождество (pg₁+qg₂)²+(pg₂−qg₁)²=(pg₁−qg₂)²+(pg₂+qg₁)² одновременно даёт u²+v²=w²+z². Это и есть совместимые красная и жёлтая связи.

u^2+w^2=2\sigma^2,\qquad u^2+v^2=w^2+z^2

B+D=2J,\qquad B+H=D+F

Сначала красная квадрика даёт тройку ρ, σ, τ. Вторая, жёлтая квадрика после переноса имеет вид z²−v²=u²−w²=(u−w)(u+w). Для показанных красных корней два множителя справа равны, с точностью до 2, произведениям 2αβ и α²−β². Разносим их между p, q, g₁, g₂ посредством НОД и полагаем v=pg₂−qg₁, z=pg₂+qg₁. Тогда z²−v²=4pqg₁g₂ точно совпадает с u²−w². Это выводит формулы из двух исходных квадрик, а не только проверяет готовую подстановку.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=\left(\frac{D+F}{2},\,\frac{F-B}{2},\,B-J\right)

Если одно из делений на 2 нецелое, умножим каждый выписанный корень на 2. Тогда все значения клеток умножатся на 4, все однородные тождества сохранятся, а числители станут чётными. Именно эту нормализацию выполняет генератор.

q_P\mapsto2q_P,\qquad P=q_P^2\mapsto4P

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{BDFHJ}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(B,D,F,H,J)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской BDFHJ. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

B+D=2J

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, D, J; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Жёлтое равенство двух сумм

B+H=D+F

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, D, F, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: точное условное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные решения двух квадрик на открытой ветви B≠D. Это в точности ветвь u²−w²≠0; после очистки знаменателей она покрывается целочисленной НОД-формулой.

B-D=u^2-w^2\ne0

(u-w)(u+w)=(z-v)(z+v)\ne0

Обратный ход

Красная коника сначала обращается полностью. Затем ненулевые множители u−w и u+w разносятся между p,q,g₁,g₂; рациональные знаменатели очищаются общим масштабом, после чего НОД даёт целые представители. Формулы v=pg₂−qg₁ и z=pg₂+qg₁ возвращают исходную точку с точностью до знаков.

Что остаётся вне гарантии

Вне гарантии остаются нулевые ветви B=D: там u=±w и одновременно z=±v. Текущая формула делит на один из нулевых множителей; эти компоненты требуют отдельных карт и не объявляются покрытыми.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)\subseteq\{B=D\}=\{u^2=w^2\}

Полнота доказана ровно на ветви B≠D; глобальная полнота до добавления нулевых карт не заявляется.

Текст восстанавливает legacy-параметризацию; перенос машинного сертификата в proof-core ещё не завершён.legacy_red_yellow_bdfhj