ABCEH: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCEH

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCEH являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,E,H\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E&=q_E^2,\\E+x-y&=q_H^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2,\qquad r^2+t^2=2s^2

N=c^2+d^2,\qquad P=d^2-c^2,\qquad Q=2cd,\qquad P^2+Q^2=N^2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,C,E,H)=((Ps-Qt)^2,(Nr)^2,(Qs+Pt)^2,(Ns)^2,(Nt)^2)

Гауссов поворот пары (s,t) сохраняет сумму квадратов с множителем N². Красная связь для B,E,H получается умножением исходной AP-тройки на N².

A+C=(P^2+Q^2)(s^2+t^2)=N^2(s^2+t^2)=E+H

B+H=N^2(r^2+t^2)=2N^2s^2=2E

Красную квадрику сначала параметризуем корнями r, s, t. После этого жёлтая квадрика требует сохранить сумму квадратов одной пары. Все точки соответствующей рациональной окружности получаются, с точностью до масштаба и исключительной карты, из P=d²−c², Q=2cd, N=c²+d². Умножение пары на матрицу ((P,−Q),(Q,P)) даёт выписанные корни; тождество P²+Q²=N² одновременно обеспечивает согласование с уже выбранной красной тройкой.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=(E,\,A-E,\,E-C)

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCEH}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,E,H)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCEH. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Красная арифметическая прогрессия

B+H=2E

Красная тройка означает линейное условие U + W = 2V на трёх клетках, значения которых одновременно являются квадратами.

r=-a^2+2ab+b^2,\qquad s=a^2+b^2,\qquad t=a^2+2ab-b^2

r^2+t^2=2s^2

(U,V,W)=(k^2r^2,\,k^2s^2,\,k^2t^2)\Longrightarrow U+W=2V

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, E, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Жёлтое равенство двух сумм

A+C=E+H

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, C, E, H; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: полное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Всё множество рациональных векторов корней, удовлетворяющих двум квадрикам этой маски, включая нулевой вектор. Целые решения понимаются проективно: после очистки знаменателей, с точностью до знаков корней и общего масштаба.

(q_P)_{P\in S}\in V_S(\mathbb Q)

Обратный ход

Красная AP-тройка обращается полной параметризацией. Оставшаяся пара имеет ту же ненулевую сумму квадратов, поэтому между двумя её рациональными представлениями существует рациональный гауссов поворот. Тройка P²+Q²=N² параметризует все такие повороты. Если эта норма равна нулю, обе квадрики вынуждают нулевой вектор.

Что остаётся вне гарантии

Непокрытых рациональных ветвей нет. Возможные нулевые знаменатели обратной карты либо устраняются сменой знаков корней, либо вынуждают весь вектор корней быть нулевым; нулевой вектор формула также получает.

\operatorname{Exc}(\Phi_S)=\varnothing

Полнота доказана над рациональными решениями обеих квадрик.

Текст восстанавливает legacy-параметризацию; перенос машинного сертификата в proof-core ещё не завершён.legacy_red_yellow_abceh