ABCDG: 5 квадратные клетки в магическом квадрате 3×3

Семейство ABCDG

Теорема и полное доказательство

Утверждение

При указанных ниже условиях формулы задают целочисленный магический квадрат порядка 3, в котором как минимум все 5 клетки маски ABCDG являются квадратами целых чисел. Квадратность остальных клеток не запрещается.

\{A,B,C,D,G\}\subseteq\{P:\mathcal M_P(E,x,y)=r_P^2\}

Параметры a, b, c, d — произвольные целые числа. Все вводимые ниже корни поэтому целочисленны.

Исходная система и исключение E, x, y

Для каждой отмеченной клетки вводим целый корень и подставляем соответствующую линейную форму Magic3. Получаем систему:

\left\{\begin{aligned}E+x&=q_A^2,\\E-x+y&=q_B^2,\\E-y&=q_C^2,\\E-x-y&=q_D^2,\\E+y&=q_G^2.\end{aligned}\right.

Матрица коэффициентов при E, x, y имеет ранг 3. Поэтому после их исключения остаётся 2 независимых однородных квадратичных уравнения на корнях. Ниже они выводятся и одновременно параметризуются.

Вывод параметризации корней

Введём следующие вспомогательные целые величины:

r=-a^2+2ab+b^2,\quad s=a^2+b^2,\quad u=a^2+2ab-b^2,\quad r^2+u^2=2s^2

K=2r^2-s^2,\qquad P=Kc^2-d^2,\qquad Q=2ucd

\alpha=u(Kc^2+d^2),\quad\beta=Pr-Qs,\quad\gamma=Ps+Qr,\quad\delta=Pr+Qs,\quad\eta=Qr-Ps

E=P^2s^2+Q^2r^2

Значения заявленных клеток определим как явные квадраты:

(A,B,C,D,G)=(\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2,\eta^2)

Жёлтая связь получается двумя гауссовыми поворотами. Для коричневой связи остаток квадрики последовательно сводится к квадрату α²; ниже выписано полное сокращение. Последняя формула одновременно доказывает, что выбранный E восстанавливает C и G без деления.

\beta^2+\gamma^2=\delta^2+\eta^2=(P^2+Q^2)(r^2+s^2)

\gamma^2+3\eta^2-2\beta^2=2\left[P^2(2s^2-r^2)+Q^2(2r^2-s^2)\right]

2s^2-r^2=u^2,\qquad 2r^2-s^2=K

u^2P^2+KQ^2=u^2(Kc^2+d^2)^2=\alpha^2

2A+2B=C+3G,\qquad B+C=D+G

C+G=\gamma^2+\eta^2=2(P^2s^2+Q^2r^2)=2E

Красная вспомогательная коника вводит r, s, u. После подстановки в коричневую квадрику коэффициент при второй паре сворачивается в K=2r²−s². Пара P=Kc²−d², Q=2ucd параметризует полученную взвешенную конику; два гауссовых поворота дают β, γ, δ, η. Последовательность равенств ниже решает обе квадрики и одновременно восстанавливает центр E без деления.

Восстановление магического квадрата

Используем стандартную трёхкоординатную форму:

\mathcal M(E,x,y)=\begin{pmatrix} E+x & E-x+y & E-y\\ E-x-y & E & E+x+y\\ E+y & E+x-y & E-x \end{pmatrix}

Положим координаты равными следующей линейной комбинации уже построенных квадратных значений:

(E,x,y)=(E,\,A-E,\,G-E)

Общая линейная лемма используется здесь прямо: если матрица выбранных клеточных форм имеет ранг 3, то вектор их значений принадлежит её образу тогда и только тогда, когда обращаются в нуль все элементы левого ядра. Для четырёх клеток левое ядро одномерно, для пяти — двумерно. Выписанные выше цветовые тождества образуют именно этот базис, а указанные формулы E, x, y дают единственный прообраз.

L_S(E,x,y)^T=(q_P^2)_{P\in S},\qquad \ker L_S^T=\langle R_1,\ldots,R_{2}\rangle

Теперь подставляем координаты в девять линейных форм Magic3. Поэтому

\pi_{ABCDG}\!\left(\mathcal M(E,x,y)\right)=(A,B,C,D,G)\in\{n^2:n\in\mathbb Z\}^{5}

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали имеют сумму 3E по самой форме Magic3. Следовательно, получена требуемая семья магических квадратов с квадратной маской ABCDG. Что и требовалось доказать.

Цветовые леммы, применённые в этом доказательстве

Жёлтое равенство двух сумм

B+C=D+G

Жёлтая четвёрка получается из композиции гауссовой нормы и даёт равенство двух попарных сумм клеток.

u=ac+bd,\quad v=ad-bc,\quad w=ac-bd,\quad z=ad+bc

u^2+v^2=w^2+z^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(U,V,W,Z)=(u^2,v^2,w^2,z^2)\Longrightarrow U+V=W+Z

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками B, C, D, G; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Коричневая взвешенная коника

2A+2B=C+3G

Коричневая четвёрка ABCG подчиняется отдельному взвешенному соотношению; в семействе ABCDG оно совмещено с жёлтой нормой.

2A+2B=C+3G

A=a^2,\quad B=b^2,\quad C=c^2,\quad G=g^2

2a^2+2b^2-c^2-3g^2=0

В текущей маске переменные леммы заменяются клетками A, B, C, G; её заключение — именно выписанное выше клеточное равенство.

Общая формулировка и доказательство →

Полнота покрытия

Статус: точное условное покрытие. Здесь полнота относится к рациональным векторам корней; целые представители получаются очисткой знаменателей и общим масштабированием.

Максимально широкое гарантированное подмножество

Все рациональные решения, для которых после выбора знаков корней жёлтая матрица ранга один допускает факторизацию ниже с рациональным квадратом 2s²−r²=u², а также нулевое решение. Это точный полный образ доказанной двухступенчатой карты, а не только произвольно выбранная невырожденная часть.

\begin{pmatrix}b+d&c+g\\c-g&d-b\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}rP&rQ\\sP&sQ\end{pmatrix}

2s^2-r^2=u^2\in\mathbb Q^2,\qquad K=2r^2-s^2

a^2=u^2P^2+KQ^2

Обратный ход

Жёлтая квадрика равносильна нулю определителя показанной матрицы, поэтому всякая ненулевая жёлтая точка имеет рациональную факторизацию ранга один. Если её квадратный класс 2s²−r² тривиален, берём рациональный u. Коричневая квадрика тогда становится коникой a²=u²P²+KQ², и формулы P=Kμ²−ν², Q=2uμν, a=u(Kμ²+ν²) дают все её рациональные точки. Для ненулевой точки u и K автоматически ненулевые, иначе возникло бы рациональное √2.

Что остаётся вне гарантии

Вне доказанного образа остаются те рациональные решения, для которых при всех допустимых выборах знаков квадратный класс 2s²−r² нетривиален. Это арифметическое, а не ранговое исключение. Не доказано ни отсутствие таких точек, ни их покрытие текущей формулой.

\operatorname{Exc}(\Phi_{ABCDG})\subseteq\{[2s^2-r^2]\ne1\text{ in }\mathbb Q^\times/(\mathbb Q^\times)^2\}

Полнота доказана для всего подмножества с тривиальным указанным квадратным классом; глобальная полнота ABCDG остаётся отдельной задачей.

Текст согласован с универсальным полиномиальным сертификатом proof-core.yellow_brown_abcdg_square_mask