← К циклу об эллиптической геометрии tfmn

Эллиптическая геометрия tfmn · 4.4

F9+: квадратичные подстановки и теорема сокращения

Пары с одинаковым tf можно искать, подставляя вместо одной пары параметров квадратичные выражения от другой. Простейший пример приводит к кривой y²=x³−2x; его обобщение превращает поиск подходящих подстановок в конечную линейную задачу.

1. Поиск решений через подстановки

Для рациональной пары положим

f(a,b)=ab(a-b)(a+b)=ab(a^2-b^2).

Один из способов получить две пары с одинаковым tf состоит в том, чтобы выразить новую пару (c,d) через исходные параметры (a,b) и потребовать

\frac{f(c,d)}{f(a,b)}=y^2.

В семействах F1, F2 и F3 линейные подстановки сводят остаточное условие к рациональным коникам и дают полные элементарные параметризации. Здесь рассматривается следующий уровень: квадратичные подстановки, остаточное условие которых в невырожденном случае задаёт кривую рода 1 и после выбора рациональной точки — эллиптическую кривую.

2. Базовый пример F9

Эмпирический подбор приводит к подстановке

c=a^2-b^2,\qquad d=b^2.

Она не делает значения f тождественно равными. Вместо этого прямое раскрытие даёт точное сокращение

\begin{aligned} f(a^2-b^2,b^2) &=f(a,b)\,ab(a^2-2b^2),\\ \frac{f(a^2-b^2,b^2)}{f(a,b)} &=ab(a^2-2b^2). \end{aligned}

Следовательно, эта подстановка сохраняет tf ровно на рациональных решениях

s^2=ab(a^2-2b^2).

При b≠0 нормировка x=a/b, y=s/b² превращает условие в эллиптическую кривую

y^2=x^3-2x.

Этот пример подсказывает общий вопрос: какие однородные квадратичные формы C и D позволяют сократить f(C,D)/f(a,b) до одного полиномиального остатка?

3. Общая квадратичная подстановка

Пусть C и D — произвольные однородные квадратичные формы над ℚ:

\begin{aligned} C(a,b)&=A a^2+B ab+C_0 b^2,\\ D(a,b)&=E a^2+F ab+G b^2. \end{aligned}

Общий множитель всех шести коэффициентов несущественен. Замена (C,D) на (λC,λD) умножает f(C,D) на λ⁴, то есть не меняет его рациональный квадратный класс. Поэтому коэффициенты естественно рассматриваются проективно.

Разложение числителя имеет четыре квадратичных множителя:

f(C,D)=C\,D\,(C-D)(C+D).

Знаменатель, который требуется сократить, состоит из четырёх попарно различных прямых:

f(a,b)=a\,b\,(a-b)(a+b).

4. Теорема сокращения

Теорема F9+

Многочлен f(C,D) делится на f(a,b) тогда и только тогда, когда на каждой из четырёх прямых a=0, b=0, a=b, a=−b тождественно обращается в нуль хотя бы один из четырёх множителей C, D, C−D, C+D.

Необходимость

Если, например, a делит f(C,D), то ограничение f(C,D) на прямую a=0 является нулевым многочленом от b. После ограничения каждый из C, D, C−D, C+D становится константой, умноженной на b². Поскольку ℚ[b] не имеет делителей нуля, произведение равно нулю только тогда, когда один из четырёх множителей равен нулю тождественно. Тот же аргумент применяется к остальным трём прямым.

Достаточность

Если на каждой базовой прямой исчезает один множитель, то f(C,D) обращается в нуль на этой прямой. Следовательно, соответствующая линейная форма делит f(C,D). Формы a, b, a−b и a+b попарно взаимно просты, поэтому их произведение также делит f(C,D).

5. Конечное линейное расположение

Для каждой из четырёх базовых прямых имеется четыре выбора исчезающего множителя. Получаются 4⁴=256 назначений. Каждое назначение задаёт четыре линейных условия на шесть коэффициентов A,B,C₀,E,F,G.

После отождествления одинаковых линейных систем возникают 224 подпространства: 220 проективных прямых и четыре проективные плоскости. Четыре плоскости являются ровно тождественными вырождениями

C=0,\qquad D=0,\qquad C=D,\qquad C=-D.

Ещё 16 из 220 прямых целиком лежат в этих плоскостях. После их удаления остаются 204 проективные прямые, на открытых частях которых f(C,D) не тождественно равно нулю. Это точное покрытие полиномиального слоя до факторизации по естественным симметриям входной и выходной пар.

Что означает число 204

Это число линейных ветвей в выбранных координатах, а не число существенно различных семейств. Перестановки, смены знаков и линейные симметрии формы f могут переводить ветви друг в друга; соответствующий фактор по симметриям здесь не утверждается.

Базовый F9 входит в это расположение как точка одномерной ветви

C=a^2-b^2,\qquad D=b^2+\lambda ab.

При λ=0 восстанавливается подстановка предыдущего раздела. Поэтому исходный F9 является частным случаем общего слоя F9+, а не отдельной от него конструкцией.

6. Остаточная квартита и точный критерий tf

На любой невырожденной ветви частное

q(a,b)=\frac{f(C(a,b),D(a,b))}{f(a,b)}

является однородной формой степени 4. Для рациональной точки, в которой оба значения f ненулевые, выполняется точная эквивалентность

\operatorname{tf}(C(a,b),D(a,b)) = \operatorname{tf}(a,b) \iff q(a,b)\in(\mathbb Q^\times)^2.

Действительно, два ненулевых рациональных числа имеют одну и ту же свободную от квадратов часть тогда и только тогда, когда их отношение является положительным рациональным квадратом. Если ориентация пары забывается, сменой знака одного выходного параметра можно заменить q на −q.

Однородность делает условие проективным. При b≠0 положим r=a/b и s=b²z. Тогда

s^2=q(a,b) \iff z^2=q(r,1).

7. Почему возникают кривые рода 1

Если квартита q(r,1) квадратсвободна и имеет степень 3 или 4, гладкая проективная модель кривой z²=q(r,1) имеет род 1. Её факторизация определяет не род, а доступность рациональной исходной точки и структуру 2-кручения.

Факторизация q	Геометрический смысл
1+1+2	Кривая рода 1 с рациональными точками над линейными корнями; после выбора начала — эллиптическая кривая с видимым рациональным 2-кручением.
2+2	Кривая рода 1, но рациональная точка не гарантирована. В общем случае это торсор под её якобианом.
1+1+1+1	Кривая рода 1 с четырьмя рациональными точками ветвления; после выбора начала видна полная подгруппа рационального 2-кручения.
Повторный множитель	Проективная кривая сингулярна; после нормализации получается род 0 либо вырожденный случай.

8. Точная область полноты

Что классифицировано полностью

Теорема охватывает все пары однородных квадратичных форм C,D, для которых f(C,D)/f(a,b) является многочленом. Внутри каждой такой подстановки уравнение z²=q(r,1) является необходимым и достаточным условием совпадения ориентированных значений tf.

Не утверждается, что этим исчерпываются все квадратичные способы получать совпадения tf: рациональное отношение без полиномиального сокращения также может становиться квадратом на некоторой кривой. Тем более не классифицируются все совпадения tf между произвольными рациональными парами — их полные координатные описания дают F4+ и F7+.

9. Роль F9+

F4+ и F7+ описывают все решения в двух универсальных системах координат, но сами по себе не перечисляют рациональные точки. F9+ решает другую задачу: он выделяет явные однопараметрические слои, на которых поиск пар переносится на конкретные кривые рода 1. Рациональные точки этих кривых непосредственно порождают пары с совпадающим tf.