Эллиптические слои F9+

Каждая подходящая квадратичная подстановка задаёт кривую рода 1, рациональные точки которой производят пары параметров с одинаковым tf. Простейший слой приводит к кривой y²=x³−2x; более общие ветви образуют нетривиальные семейства эллиптических кривых.

1. Базовый слой F9

Рассмотрим квадратичную подстановку

C=a^2-b^2,\qquad D=b^2.

Её остаток выводится прямым раскрытием:

\begin{aligned} f(C,D) &=(a^2-b^2)b^2\bigl((a^2-b^2)^2-b^4\bigr)\\ &=(a^2-b^2)b^2\bigl(a^4-2a^2b^2\bigr)\\ &=ab(a^2-b^2)\cdot ab(a^2-2b^2)\\ &=f(a,b)\cdot ab(a^2-2b^2). \end{aligned}

Поэтому для невырожденных пар совпадение ориентированных tf эквивалентно существованию s∈ℚ× такого, что

s^2=ab(a^2-2b^2).

При b≠0 положим x=a/b и y=s/b². Получается эллиптическая кривая

E_9:\qquad y^2=x^3-2x.

2. Точное соответствие внутри подстановки

Теорема базового слоя

Невырожденные решения базовой подстановки, рассматриваемые с точностью до общего масштаба каждой пары, находятся в биекции с рациональными точками (x,y) на E₉, для которых x≠0,±1 и x²≠2, с точностью до замены y на −y.

(x,y) \longmapsto \bigl([x:1],\,[x^2-1:1]\bigr).

Прямое направление уже доказано тождеством для f. Обратно, всякая проективная входная пара с b≠0 имеет единственный вид [x:1]. Если подстановка сохраняет tf, её остаток x(x²−2) является квадратом, а значит существует точка (x,±y) на E₉. Обе конструкции взаимно обратны.

3. Почему решений бесконечно много

На E₉ лежит точка G=(2,2). Формула удвоения даёт

2G=\left(\frac94,-\frac{21}{8}\right).

Кривая y²=x³−2x задана минимальным целочисленным уравнением. Если бы G была точкой кручения, то 2G также была бы точкой кручения. По теореме Нагелля—Лутца её координаты должны были бы быть целыми, если 2G не является нейтральным элементом. Но 2G имеет нецелые координаты и не равно 𝒪. Следовательно, G имеет бесконечный порядок.

Кратные nG дают бесконечно много различных x-координат, а значит бесконечно много пар

\bigl([x(nG):1],\,[x(nG)^2-1:1]\bigr)

с совпадающим tf. Например, G даёт [2:1] и [3:1]: f(2,1)=6, f(3,1)=24=4·6.

4. Параметрический узкий слой

Базовую формулу можно заменить трёхпараметрическим анзацем

C=b(a-nb),\qquad D=p a^2+mab-nb^2.

До сокращения отношение имеет вид

\frac{f(C,D)}{f(a,b)} =- \frac{ (a-nb)\, (pa+(m-1)b)\, (pa^2+mab-nb^2)\, (pa^2+(m+1)ab-2nb^2) }{ (a-b)(a+b) }.

Для полиномиального сокращения один из четырёх множителей числителя должен исчезать при a=b, а один — при a=−b. Эти два выбора дают линейные условия на p,m,n. После удаления тождественно нулевой ветви получается 14 невырожденных однопараметрических ветвей; типичный остаток является бинарной квартитой.

5. Параметр не является масштабом

На ветви p=n, m=0 имеем

\begin{aligned} C&=b(a-nb),\\ D&=n(a^2-b^2),\\ q_n(a,b) &=-n(a-nb)(na-b)(na^2+ab-2nb^2). \end{aligned}

Это подлинное семейство, а не переобозначение одного слоя. При n=2 и n=3 получаются гладкие эллиптические кривые с различными j-инвариантами:

j_{n=2}=\frac{2^2\,5^6}{3\cdot11}, \qquad j_{n=3}=\frac{2^6\,5^3\,11^3}{3^4\cdot73}.

Если бы параметр устранялся рациональной заменой координат и масштабированием, j-инвариант оставался бы постоянным. Различие этих двух значений это исключает.

6. Известные эллиптические слои

В двух ранних списках зафиксировано 16 конкретных квадратичных подстановок с остатком типа 1+1+2. Восемь происходят из узкого анзаца, ещё восемь — из общего пространства пар квадратичных форм. Последние восемь лежат всего на семи из 204 ветвей общей теоремы; две формулы являются разными точками одной ветви.

Слой	Модель кривой
F9_A	$Y^2=-(6t+1)(12t^2+9t+1)$
F9_B	$Y^2=-4(3t+2)(6t^2+6t+1)$
F9_C	$Y^2=t^3-3t^2+t+1$
F9_D	$Y^2=(6t+1)(6t^2+6t+1)$
F9_E	$Y^2=-2(3t+2)(6t^2+9t+2)$
F9_F	$Y^2=-(2t+3)(2t^2-15t-9)$
F9_G	$Y^2=-3(8t+3)(24t^2+19t+3)$
F9_H	$Y^2=-3(2t+3)(6t^2+10t+3)$
F9__1	$Y^2=X^3+6X^2-8X$
F9__2	$Y^2=X^3-6X^2-8X$
F9__3	$Y^2=X^3-18X^2+64X$
F9__4	$Y^2=X^3-24X^2+256X$
F9__5	$Y^2=X^3-24X^2+162X$
F9__6	$Y^2=X^3+84X^2+1296X$
F9__7	$Y^2=X^3+24X^2+256X$
F9__8	$Y^2=X^3-84X^2+1296X$

Эта таблица является каталогом построенных слоёв, а не классификацией всех эллиптических ветвей. В частности, тип 2+2 также может иметь рациональные точки и приводить к эллиптическим моделям, хотя линейные корни там заранее не видны.

7. Как одна точка производит пару tf

Пусть на выбранной ветви

f(C(a,b),D(a,b))=f(a,b)q(a,b)

и рациональная точка остаточной кривой задаёт s²=q(a,b). Тогда

f(C(a,b),D(a,b))=s^2f(a,b),

поэтому входная и выходная пары имеют одинаковый tf. Если остаточная кривая имеет точку бесконечного порядка и отображение в r=a/b непостоянно, её кратные дают бесконечно много таких пар; из расчёта удаляется лишь конечное множество точек, в которых один из множителей f обращается в нуль.

8. Вложение в F4+

Пусть b≠0, r=a/b, а C(r)=C(r,1), D(r)=D(r,1), q(r)=q(r,1). Выходную пару можно домножить на a/C и получить общий первый параметр:

(C,D)\sim\left(a,\frac{aD}{C}\right).

В координатах F4+ соответствующая кривая задаётся формулами

y_F(r)=\frac{rD(r)}{C(r)}, \qquad \rho^2(r)=\frac{C(r)^4}{r^4q(r)}.

На остаточной кривой s²=q(r) параметр ρ становится рациональной функцией

\rho(r,s)=\frac{C(r)^2}{r^2s}.

Таким образом, каждый F9+-слой является явной кривой или многосечением внутри полной поверхности F4+. Это следствие нормализации, а не определение F9+.

9. Переход к F7+ и граница результата

Каждая точка F9+ создаёт две пары [a:b] и [C:D] одного квадратного класса T. По биекции F7+ они становятся двумя рациональными точками на одной конгруэнтной кривой E_T. После выбора знаков групповой закон E_T производит новые представления того же T.

Что доказано и что остаётся открытым

Полностью классифицирован слой точного полиномиального сокращения и доказан критерий через остаточную квартиту. Для каждого конкретного слоя остаются отдельные арифметические вопросы: наличие рациональных точек, ранг якобиана, независимость порождённых точек на E_T и совпадения ветвей после факторизации по симметриям.