Эллиптические поверхности 6/9 · 5.1

Маска ABCDEH: от двух прогрессий к эллиптической K3-поверхности

Две пересекающиеся прогрессии квадратов сводят маску ABCDEH к явной квартике рода 1. Её якобиан — расщеплённая эллиптическая K3-поверхность с двумя доказанно независимыми сечениями.

ABCDEFGHJ

ABCDEH: прогрессии BEH и CDH пересекаются в H

1. Исходная система

Малыми буквами обозначим рациональные корни выбранных клеток. Из общей формы магического квадрата для маски ABCDEH остаются три независимых условия:

\begin{cases} b^2+h^2=2e^2,\\ d^2+h^2=2c^2,\\ a^2+c^2=e^2+h^2. \end{cases}

Первые две строки — арифметические прогрессии квадратов с общим крайним членом h². Третья строка связывает их и является единственным оставшимся препятствием.

2. Одновременная параметризация двух прогрессий

Положим

L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1.

Непосредственное раскрытие скобок даёт тождество

L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Чтобы обе прогрессии имели один и тот же корень h, берём два параметра p,q и перемножаем соответствующие множители:

\begin{aligned} b&=L(p)R(q), & e&=C(p)R(q),\\ d&=L(q)R(p), & c&=C(q)R(p),\\ h&=R(p)R(q). \end{aligned}

Тогда первые два уравнения выполняются тождественно. Никакие числовые коэффициенты здесь не подобраны: каждая строка является копией тождества L²+R²=2C², умноженной на общий квадрат.

3. Остаточная квартика

Подставим найденные b,c,d,e,h в третье условие и обозначим a=V. После приведения подобных членов получается одно уравнение

V^2=C(p)^2(q^2+1)^2+8K(p)q(q^2-1),

K(p)=p^4+2p^3+2p^2-2p+1.

Точный критерий конструкции

Для любых рациональных p,q,V, удовлетворяющих этой квартике, шесть чисел

\begin{aligned} a&=V,& b&=L(p)R(q),& c&=C(q)R(p),\\ d&=L(q)R(p),& e&=C(p)R(q),& h&=R(p)R(q) \end{aligned}

задают квадратные клетки ABCDEH некоторого рационального магического квадрата. Его координаты восстанавливаются по формулам E=e², x=a²−e², y=e²−c².

При фиксированном p правая часть является квартическим многочленом по q. Точка q=1, V=±2C(p) рациональна, поэтому гладкий общий слой имеет род 1 и отмеченную рациональную точку.

4. Якобиан и расщепление кубики

Для бинарной квартики вычисление классических инвариантов I и J переводит отмеченную кривую рода 1 в короткую форму Вейерштрасса

Y^2=X^3-432P(p)X+3456Q(p),

\begin{aligned} P(p)={}&13p^8+48p^7+100p^6+48p^5-18p^4\\ &-48p^3+100p^2-48p+13,\\ Q(p)={}&(p^2+1)^2 \cdot(5p^4+12p^3+10p^2-12p+5)\\ &\cdot(7p^4+12p^3+14p^2-12p+7). \end{aligned}

Кубика полностью раскладывается над ℚ(p):

\begin{aligned} X_0&=24(p^2+1)^2,\\ X_1&=12(5p^4+12p^3+10p^2-12p+5),\\ X_2&=-12(7p^4+12p^3+14p^2-12p+7). \end{aligned}

Следовательно, якобиан имеет полную рациональную 2-кручение над ℚ(p). Это существенно и для вычисления особых слоёв, и для точной проверки независимости найденных сечений.

5. Два независимых сечения и бесконечная подгруппа

Кроме базовой точки q=1, квартика имеет симметричную пару точек

q=-\frac1p,\qquad V=\pm\frac{(p^2+2p-1)^2}{p^2}.

Стандартное преобразование отмеченной квартики в модель Вейерштрасса переводит два выбора знака в два сечения. Их независимость проверяется не численным перебором: при специализации p=3 их образы вместе с двумя классами 2-кручения имеют ранг 4 в точном куммеровом отображении. Поэтому два сечения независимы над ℚ(p).

Обозначим одно из этих сечений через P. Оно неторсионно, поэтому

\langle 2P\rangle =\{\,2nP:n\in\mathbb Z\,\} \cong\mathbb Z.

Каждое кратное 2nP возвращается по обратному бирациональному преобразованию в рациональную точку (qₙ(p),Vₙ(p)) квартики, а затем — по формулам раздела 3 — в решение ABCDEH. Тем самым одно неторсионное сечение задаёт бесконечную последовательность рациональных параметризаций, а не единственный числовой пример.

6. Паспорт K3-поверхности

Дискриминант якобиана, с точностью до ненулевой константы, равен

\begin{aligned} \Delta(p)\sim{}& (p^2+2p-1)^4 \cdot(p^2+2p+3)^2\\ &\cdot(3p^2-2p+1)^2 \cdot(p^4+2p^3+2p^2-2p+1)^2. \end{aligned}

Корни первого множителя дают два слоя типа I₄; корни остальных — восемь слоёв типа I₂. Слой над бесконечностью гладок. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

Доказанная граница ранга

2\le \operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(p))\le4.

Нижняя граница дана двумя независимыми сечениями. Для верхней границы конфигурация 2I₄+8I₂ имеет корневой ранг 14; формула Шиоды—Тейта и неравенство ρ≤20 для комплексной K3 дают rank≤20−2−14=4. Равенство точному рангу 2 пока не утверждается.

7. Явная параметризация из сечения 2P

Первое нетривиальное чётное кратное уже даёт однопараметрическое семейство. В нём p остаётся свободным, а q и V больше не выбираются:

\begin{aligned} q(p)&=-\frac{p^4+p^3-p+1}{p(p^2-2p-1)},\\ V(p)&=-\frac{(p^2+1)A_0(p)} {p^2(p^2-2p-1)^2}, \end{aligned}

где для компактности положим

\begin{aligned} A_0(p)={}&p^8-2p^7-10p^6-10p^5+10p^4\\ &+10p^3-10p^2+2p+1,\\ U(p)={}&p^8+2p^6+8p^5+2p^4-8p^3+2p^2+1,\\ C_0(p)={}&p^8+2p^7+2p^6-6p^5+2p^4\\ &+6p^3+2p^2-2p+1,\\ D_0(p)={}&p^8+4p^7-2p^6-4p^5-6p^4\\ &+4p^3-2p^2-4p+1. \end{aligned}

После умножения всех корней на общий знаменатель p²L(p)² получаем полностью полиномиальную параметризацию:

\begin{aligned} a&=-C(p)A_0(p),& b&=L(p)U(p),\\ c&=R(p)C_0(p),& d&=R(p)D_0(p),\\ e&=C(p)U(p),& h&=R(p)U(p). \end{aligned}

Тождественная корректность

Эти шесть многочленов тождественно удовлетворяют всем трём уравнениям ABCDEH. За исключением конечного набора вырожденных значений p они дают невырожденные рациональные квадраты. Следующие семейства получаются тем же способом из 4P,6P,… посредством группового закона якобиана.

8. Граница результата

Получена явная порождающая поверхность, а не набор разрозненных примеров. Рациональные точки её слоёв дают семейства квадратов ABCDEH, и два независимых сечения гарантируют нетривиальный запас таких точек.

При этом здесь не доказано, что одна выбранная пара параметров p,q перечисляет все рациональные решения исходной маски, и не определён точный геометрический ранг поверхности. Эти два утверждения остаются за пределами доказанного результата.

Далее: поверхность ABCDEJ →Цикл F7+, F4+ и F9+К оглавлению теории