Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.2

Маска ABCDEJ: общая вершина двух прогрессий

Прогрессии AEJ и BDJ пересекаются в J. Их одновременная параметризация оставляет одну квартику рода 1; её расщеплённый якобиан является эллиптической K3-поверхностью с неторсионным сечением.

ABCDEFGHJ
ABCDEJ: прогрессии AEJ и BDJ пересекаются в J

1. Три независимых условия

Пусть a,b,c,d,e,j — рациональные корни шести выбранных клеток. Для маски ABCDEJ исходная система имеет вид

{a2+j2=2e2,b2+d2=2j2,a2+d2=c2+e2. \begin{cases} a^2+j^2=2e^2,\\ b^2+d^2=2j^2,\\ a^2+d^2=c^2+e^2. \end{cases}

Первые две строки параметризуют две прогрессии квадратов. Последняя строка — жёлтая связь ACDE — определяет, когда обе прогрессии принадлежат одному магическому квадрату.

2. Склейка прогрессий в общей клетке J

Используем стандартные многочлены

L(z)=z2−2z−1,C(z)=z2+1,R(z)=z2+2z−1, L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,L(z)2+R(z)2=2C(z)2.L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Два параметра p,q позволяют сделать корень j общим:

a=L(p)C(q),e=C(p)C(q),j=R(p)C(q),b=L(q)R(p),d=R(q)R(p). \begin{aligned} a&=L(p)C(q),& e&=C(p)C(q),& j&=R(p)C(q),\\ b&=L(q)R(p),& d&=R(q)R(p). \end{aligned}

После этой подстановки обе красные строки выполняются тождественно. Остаётся потребовать квадратность c²=a²+d²−e².

3. Остаточная квартика

Обозначив c=V и сократив выражение, получаем

V2=R(p)2R(q)2−4p(p2−1)C(q)2. V^2=R(p)^2R(q)^2-4p(p^2-1)C(q)^2.

Это квартика по q. При q=0 её правая часть равна C(p)², поэтому общий слой имеет рациональную базовую точку (0,C(p)). При q=1 появляется ещё одна рациональная точка (1,2C(p)); именно она породит неторсионное сечение.

Точный критерий

Рациональные p,q,V задают решение ABCDEJ по формулам раздела 2 и равенству c=V тогда и только тогда, когда лежат на этой квартике. Координаты магического квадрата восстанавливаются как E=e², x=a²−e², y=e²−c².

4. Расщеплённый якобиан

Классические инварианты бинарной квартики дают короткую модель

Y2=X3−1728P(p)X+27648Q(p), Y^2=X^3-1728P(p)X+27648Q(p),P(p)=p8+6p7+16p6+6p5−18p4−6p3+16p2−6p+1,Q(p)=(p2+1)2⋅(p4+3p3+2p2−3p+1)⋅(p4+6p3+2p2−6p+1). \begin{aligned} P(p)={}&p^8+6p^7+16p^6+6p^5-18p^4\\ &-6p^3+16p^2-6p+1,\\ Q(p)={}&(p^2+1)^2\cdot (p^4+3p^3+2p^2-3p+1)\\ &\cdot(p^4+6p^3+2p^2-6p+1). \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

X0=24(p2+1)2,X1=24(p4+6p3+2p2−6p+1),X2=−48(p4+3p3+2p2−3p+1). \begin{aligned} X_0&=24(p^2+1)^2,\\ X_1&=24(p^4+6p^3+2p^2-6p+1),\\ X_2&=-48(p^4+3p^3+2p^2-3p+1). \end{aligned}

Следовательно, над ℚ(p) вся группа 2-кручения рациональна. В форме Лежандра поверхность имеет параметр

λ(p)=−p4+2p3+2p2−2p+12p(p2−1). \lambda(p)=- \frac{p^4+2p^3+2p^2-2p+1} {2p(p^2-1)}.

5. Неторсионное сечение и бесконечная подгруппа

Точка квартики q=1, V=2C(p) переходит в рациональное сечение P якобиана. Точная специализация при p=2 и куммерово отображение показывают, что P не является кручением. Поэтому

⟨2P⟩={ 2nP:n∈Z }≅Z. \langle2P\rangle =\{\,2nP:n\in\mathbb Z\,\} \cong\mathbb Z.

Обратное бирациональное преобразование переводит каждое 2nP в рациональные функции qₙ(p),Vₙ(p), а затем в шесть корней ABCDEJ. Это бесконечный механизм генерации параметризаций.

6. Явное семейство из сечения 2P

Для первого чётного кратного p является единственным свободным параметром:

q(p)=−2C(p)2R(p)2,V(p)=C(p)V0(p)R(p)4, \begin{aligned} q(p)&=-\frac{2C(p)^2}{R(p)^2},\\ V(p)&=\frac{C(p)V_0(p)}{R(p)^4}, \end{aligned}

где

U(p)=(p4+6p2−8p+5)⋅(5p4+8p3+6p2+1),B0(p)=7p8+8p7+12p6+8p5+74p4−8p3+12p2−8p+7,V0(p)=p8−24p7−44p6−24p5+102p4+24p3−44p2+24p+1,D0(p)=p8+24p7+20p6+24p5−26p4−24p3+20p2−24p+1. \begin{aligned} U(p)={}&(p^4+6p^2-8p+5) \cdot(5p^4+8p^3+6p^2+1),\\ B_0(p)={}&7p^8+8p^7+12p^6+8p^5+74p^4\\ &-8p^3+12p^2-8p+7,\\ V_0(p)={}&p^8-24p^7-44p^6-24p^5+102p^4\\ &+24p^3-44p^2+24p+1,\\ D_0(p)={}&p^8+24p^7+20p^6+24p^5-26p^4\\ &-24p^3+20p^2-24p+1. \end{aligned}

Умножение корней на общий знаменатель R(p)⁴ даёт полиномиальное семейство

a=L(p)U(p),b=R(p)B0(p),c=C(p)V0(p),d=−R(p)D0(p),e=C(p)U(p),j=R(p)U(p). \begin{aligned} a&=L(p)U(p),& b&=R(p)B_0(p),\\ c&=C(p)V_0(p),& d&=-R(p)D_0(p),\\ e&=C(p)U(p),& j&=R(p)U(p). \end{aligned}

Тождественная корректность

Шесть многочленов тождественно удовлетворяют всем трём уравнениям ABCDEJ. Значения p, при которых нарушаются требуемые условия невырожденности, следует исключить. Кратные 4P,6P,… тем же способом создают следующие семейства.

7. Паспорт поверхности и граница ранга

С точностью до ненулевой константы дискриминант равен

Δ(p)∼p2(p−1)2(p+1)2R(p)4⋅(p4+2p3+2p2−2p+1)2. \Delta(p)\sim p^2(p-1)^2(p+1)^2R(p)^4\cdot (p^4+2p^3+2p^2-2p+1)^2.

Два корня R(p) дают слои I₄. Точки p=0,±1, четыре корня последнего множителя и бесконечность дают восемь слоёв I₂. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная поверхность является K3.

Доказанная граница ранга

1≤rank⁡E(Q‾(p))≤4. 1\le\operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(p))\le4.

Неторсионное сечение даёт нижнюю границу 1. Корневой ранг конфигурации 2I₄+8I₂ равен 14; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 4. Точный ранг пока не определён.

8. Граница результата

Построена явная порождающая K3-поверхность и бесконечная циклическая подгруппа её сечений. Это даёт бесконечно много однопараметрических семейств ABCDEJ, начиная с выписанного семейства 2P.

Не утверждается, что эта подгруппа исчерпывает всю группу Морделла—Вейля или что выбранная квартическая карта перечисляет все рациональные решения исходной маски.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABCDEHК оглавлению теории