Эллиптические поверхности 6/9 · 5.3

Маска ABCDFH: две прогрессии и палиндромная квартика

Прогрессии AFH и CDH имеют общий крайний квадрат H. Их жёлтая склейка BDFH приводит к палиндромной квартике рода 1, расщеплённой эллиптической K3-поверхности и явному бесконечному семейству решений.

ABCDEFGHJ

ABCDFH: красные AFH, CDH; жёлтая BDFH

1. Исходная система и обратное восстановление

Пусть a,b,c,d,f,h — рациональные корни шести выбранных клеток. Из общей формы магического квадрата следуют три независимых отношения:

\begin{cases} f^2+h^2=2a^2,\\ d^2+h^2=2c^2,\\ b^2+h^2=d^2+f^2. \end{cases}

Первые две строки — красные арифметические прогрессии AFH и CDH. Последняя строка — жёлтая квадрика BDFH. Эти условия не только необходимы: по любому их рациональному решению восстанавливается весь магический квадрат.

E_0=\frac{b^2+h^2}{2}=\frac{d^2+f^2}{2}, \qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-c^2.

Подстановка этих E₀,x,y в m(E₀,x,y) возвращает клетки A,B,C,D,F,H. Например, значение клетки F равно a²+E₀−c²=f²: последнее равенство получается сложением первых двух строк и жёлтой связи. Остальные клетки проверяются так же.

2. Одновременная параметризация прогрессий

Введём стандартные многочлены

L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,

L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Два параметра p,q позволяют сделать корень h общим:

\begin{aligned} f&=L(p)R(q),& a&=C(p)R(q),\\ d&=L(q)R(p),& c&=C(q)R(p),\\ h&=R(p)R(q). \end{aligned}

Обе красные строки теперь выполняются тождественно. В этой рациональной карте единственным оставшимся условием является квадратность d²+f²−h².

3. Палиндромная квартика

Обозначим искомый корень b через V и положим

K(p)=p^4+12p^3+2p^2-12p+1.

После раскрытия скобок остаётся

\begin{aligned} V^2={}&L(p)^2q^4-4K(p)q^3+2L(p)^2q^2\\ &+4K(p)q+L(p)^2. \end{aligned}

Точный критерий внутри карты

Рациональные p,q,V задают решение ABCDFH по формулам раздела 2 и равенству b=V тогда и только тогда, когда лежат на этой квартике. Полнота этой конкретной карты для всех рациональных решений исходной маски здесь не утверждается.

Палиндромная форма показывает внутреннюю геометрию уравнения. При z=q−1/q после деления на q² получаем пару коник

\left(\frac Vq\right)^2=L(p)^2(z^2+4)-4K(p)z, \qquad \left(q+\frac1q\right)^2=z^2+4.

Их расслоенное произведение по z является исходной квартикой. Для общего p её дискриминант ненулевой; отмеченные точки q=0,V=L(p) и q=1,V=−2L(p) превращают гладкий слой в эллиптическую кривую.

4. Расщеплённый якобиан

Классические инварианты бинарной квартики дают короткую модель якобиана

Y^2=X^3-1728P(p)X+27648L(p)^2Q_1(p)Q_2(p),

\begin{aligned} P(p)={}&p^8+16p^7+116p^6+16p^5-218p^4\\ &-16p^3+116p^2-16p+1,\\ Q_1(p)={}&p^4+8p^3+2p^2-8p+1,\\ Q_2(p)={}&p^4+20p^3+2p^2-20p+1. \end{aligned}

Правая часть полностью раскладывается:

\begin{aligned} X_0&=24L(p)^2,\\ X_1&=24Q_2(p),\\ X_2&=-48Q_1(p). \end{aligned}

Следовательно, над ℚ(p) видно всё рациональное 2-кручение. Эта факторизация также позволяет читать особые слои непосредственно по разностям трёх корней.

5. Неторсионное сечение

Парабола, проходящая через (0,L(p)) и касающаяся квартики в точке (1,−2L(p)), даёт третью рациональную точку

\begin{aligned} q(p)&=\frac{2L(p)^2}{K(p)},\\ V(p)&=\frac{L(p)B_0(p)}{K(p)^2}, \end{aligned}

\begin{aligned} B_0(p)={}&p^8-104p^7-364p^6-104p^5+742p^4\\ &+104p^3-364p^2+104p+1. \end{aligned}

Она задаёт сечение P якобиана. Его неторсионность имеет точный сертификат. При p=2 короткая модель и точка специализируются в

\begin{aligned} E_2:\quad y^2&=x^3-12194496x+292654080,\\ P_2&=(338712,\ 197116416). \end{aligned}

Минимальная модель равна y²=x³−x²−9409x+9409, а образ P₂ — точка (9409,912576). На хороших простых 5 и 13 числа точек равны 8 и 12, поэтому порядок рациональной группы кручения делит 4. Кубика (x−1)(x−97)(x+97) уже даёт четыре точки 2-кручения; иных точек кручения нет. Образ P₂ имеет ненулевую y-координату, следовательно, он бесконечного порядка. Поэтому P неторсионно над ℚ(p).

\langle P\rangle=\{\,nP:n\in\mathbb Z\,\}\cong\mathbb Z.

После обратного бирационального преобразования кратные nP дают бесконечную последовательность рациональных секций исходной квартики и, следовательно, новые однопараметрические семейства ABCDFH.

6. Явное полиномиальное семейство

Первое сечение уже можно записать без рациональных знаменателей. Положим

\begin{aligned} N&=2L(p)^2,\\ U_R&=N^2+2NK-K^2,\\ U_L&=N^2-2NK-K^2,\\ U_C&=N^2+K^2. \end{aligned}

Тогда после умножения всех корней на общий знаменатель K(p)² получаем

\begin{aligned} a&=C(p)U_R,& b&=L(p)B_0(p),\\ c&=R(p)U_C,& d&=R(p)U_L,\\ f&=L(p)U_R,& h&=R(p)U_R. \end{aligned}

Тождественная корректность

f^2+h^2=2a^2,\qquad d^2+h^2=2c^2,\qquad b^2+h^2=d^2+f^2.

Все три равенства являются тождествами в ℤ[p]. Поскольку отношение f/h=L(p)/R(p) непостоянно, семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений. Нужно исключить лишь конечное множество нулей знаменателей, совпадений и других вырожденных специализаций.

7. Точный пример при p=2

Специализация полиномиального семейства даёт корни выбранных клеток

(a,b,c,d,f,h)= (45085,\ 28223,\ 65891,\ 68551,\ 9017,\ 63119),

где знаки корней опущены. Восстановленный положительный магический квадрат равен

\begin{pmatrix} 2032657225&796537729&4341623881\\ 4699239601&2390272945&81306289\\ 438922009&3984008161&2747888665 \end{pmatrix}.

Его магическая сумма равна 7 170 818 835. Ровно клетки A,B,C,D,F,H являются попарно различными полными квадратами; E,G,J положительны и квадратами не являются. Это сертификат конкретного невырожденного решения 6/9, а общая бесконечность следует из тождественного семейства выше.

8. Паспорт поверхности и граница результата

С точностью до ненулевой константы дискриминант якобиана равен

\Delta(p)\sim p^2(p-1)^2(p+1)^2R(p)^4K(p)^2.

Два корня R(p) дают слои I₄. Точки p=0,±1, четыре корня K(p) и бесконечность дают восемь слоёв I₂. Их числа Эйлера суммируются в 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

Доказанная граница ранга

1\le\operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(p))\le4.

Неторсионное сечение даёт нижнюю границу 1. Корневой ранг конфигурации 2I₄+8I₂ равен 14; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 4. Точный ранг и полнота выбранной квартической карты не утверждаются.

Далее: поверхность ABCDHJ →Предыдущая поверхность: ABCDEJ К оглавлению теории