Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.4

Маска ABCDHJ: две прогрессии с общей клеткой D

Прогрессии BDJ и CDH пересекаются в крайней клетке D. Жёлтая связь ABHJ оставляет палиндромную квартику рода 1; её якобиан является расщеплённой эллиптической K3-поверхностью с явным неторсионным сечением.

ABCDEFGHJ
ABCDHJ: красные BDJ, CDH; жёлтая ABHJ

1. Исходная система и восстановление квадрата

Пусть a,b,c,d,h,j — рациональные корни шести выбранных клеток. Общая форма магического квадрата даёт три независимых отношения:

{b2+d2=2j2,d2+h2=2c2,a2+j2=b2+h2. \begin{cases} b^2+d^2=2j^2,\\ d^2+h^2=2c^2,\\ a^2+j^2=b^2+h^2. \end{cases}

Первые две строки — красные прогрессии BDJ и CDH с общей крайней клеткой D. Последняя строка — жёлтая квадрика ABHJ. Вместе эти условия достаточны для восстановления всего магического квадрата.

E0=a2+j22=b2+h22,x=a2−E0,y=E0−c2. E_0=\frac{a^2+j^2}{2}=\frac{b^2+h^2}{2}, \qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-c^2.D=c2+j2−E0=d2,B=j2+E0−c2=b2,H=E0−j2+c2=h2. \begin{aligned} D&=c^2+j^2-E_0=d^2,\\ B&=j^2+E_0-c^2=b^2,\\ H&=E_0-j^2+c^2=h^2. \end{aligned}

Клетки A,J,C сразу равны a²,j²,c², а три выписанных упрощения следуют из исходной системы. Поэтому условия описывают именно маску ABCDHJ, а не только набор необходимых следствий.

2. Склейка двух прогрессий в D

Используем стандартные многочлены

L(z)=z2−2z−1,C(z)=z2+1,R(z)=z2+2z−1, L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,L(z)2+R(z)2=2C(z)2.L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Общий корень d получается после перемножения правых крайних членов двух параметризаций:

b=L(p)R(q),j=C(p)R(q),d=R(p)R(q),h=L(q)R(p),c=C(q)R(p). \begin{aligned} b&=L(p)R(q),& j&=C(p)R(q),\\ d&=R(p)R(q),\\ h&=L(q)R(p),& c&=C(q)R(p). \end{aligned}

Обе красные строки теперь выполняются тождественно. Остаётся единственное условие: выражение b²+h²−j² должно быть квадратом a².

3. Палиндромная квартика и две коники

Обозначим искомый корень a через V и положим

K(p)=p4+8p3+2p2−8p+1. K(p)=p^4+8p^3+2p^2-8p+1.

После раскрытия скобок получаем

V2=C(p)2q4−4K(p)q3+2C(p)2q2+4K(p)q+C(p)2. \begin{aligned} V^2={}&C(p)^2q^4-4K(p)q^3+2C(p)^2q^2\\ &+4K(p)q+C(p)^2. \end{aligned}

Точный критерий внутри карты

Рациональные p,q,V задают решение ABCDHJ по формулам раздела 2 и равенству a=V тогда и только тогда, когда лежат на этой квартике. Полнота выбранной карты для всех рациональных решений исходной маски здесь не утверждается.

Палиндромность позволяет заменить q на z=q−1/q. После деления на q² исходная кривая становится расслоенным произведением двух коник:

(Vq)2=C(p)2(z2+4)−4K(p)z,(q+1q)2=z2+4. \left(\frac Vq\right)^2=C(p)^2(z^2+4)-4K(p)z, \qquad \left(q+\frac1q\right)^2=z^2+4.

Для общего p квартика гладка и имеет рациональные точки (0,C(p)) и (1,−2C(p)); следовательно, после выбора одной из них она является эллиптической кривой.

4. Расщеплённый якобиан

Инварианты бинарной квартики дают короткую модель якобиана

Y2=X3−1728P(p)X+27648C(p)2Q1(p)Q2(p), Y^2=X^3-1728P(p)X+27648C(p)^2Q_1(p)Q_2(p),P(p)=p8+12p7+52p6+12p5−90p4−12p3+52p2−12p+1,Q1(p)=p4+6p3+2p2−6p+1,Q2(p)=p4+12p3+2p2−12p+1. \begin{aligned} P(p)={}&p^8+12p^7+52p^6+12p^5-90p^4\\ &-12p^3+52p^2-12p+1,\\ Q_1(p)={}&p^4+6p^3+2p^2-6p+1,\\ Q_2(p)={}&p^4+12p^3+2p^2-12p+1. \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

X0=24C(p)2,X1=24Q2(p),X2=−48Q1(p). \begin{aligned} X_0&=24C(p)^2,\\ X_1&=24Q_2(p),\\ X_2&=-48Q_1(p). \end{aligned}

Следовательно, над ℚ(p) рационально всё 2-кручение. Разности трёх корней одновременно определяют дискриминант и конфигурацию особых слоёв.

5. Как возникает неторсионное сечение

Сечение можно вывести из уже отмеченных точек, не угадывая его формулу. Пусть F(q) обозначает правую часть квартики и рассмотрим параболу

Π(q)=C2+2KCq2−22C2+KCq+C. \Pi(q)= \frac{C^2+2K}{C}q^2 -2\frac{2C^2+K}{C}q+C.

Она проходит через (0,C) и касается ветви V=−2C при q=1. Точное разложение разности имеет вид

C2(F(q)−Π(q)2)=−4q(q−1)2(Kq−2C2)(C2+K). C^2\bigl(F(q)-\Pi(q)^2\bigr)= -4q(q-1)^2(Kq-2C^2)(C^2+K).

Оставшееся пересечение даёт рациональную точку

q(p)=2C(p)2K(p),V(p)=C(p)B0(p)K(p)2,B0(p)=4C(p)4−3K(p)2. \begin{aligned} q(p)&=\frac{2C(p)^2}{K(p)},\\ V(p)&=\frac{C(p)B_0(p)}{K(p)^2},\\ B_0(p)&=4C(p)^4-3K(p)^2. \end{aligned}

Эта точка задаёт сечение P якобиана. При хорошей специализации p=−2 оно переходит на минимальную кривую

E−2:y2=x3−x2−737x+7905,P−2=(32925,2208125). \begin{aligned} E_{-2}:\quad y^2&=x^3-x^2-737x+7905,\\ P_{-2}&=\left(\frac{329}{25},\frac{2208}{125}\right). \end{aligned}

Правая часть равна (x−17)(x−15)(x+31), поэтому на кривой уже видны четыре рациональные точки 2-кручения. Точные подсчёты дают #E(𝔽₅)=4 и #E(𝔽₇)=12; следовательно, порядок всей рациональной группы кручения делит 4 и она совпадает с 2-кручением. У точки P₋₂ ненулевая y-координата, поэтому она имеет бесконечный порядок. Значит, исходное сечение P неторсионно над ℚ(p).

⟨P⟩={ nP:n∈Z }≅Z. \langle P\rangle=\{\,nP:n\in\mathbb Z\,\}\cong\mathbb Z.

Обратное бирациональное преобразование переводит кратные nP в новые рациональные секции исходной квартики и тем самым в бесконечную последовательность однопараметрических семейств ABCDHJ.

6. Явное полиномиальное семейство

Первое сечение уже даёт семейство без рациональных знаменателей. Положим

N=2C(p)2,UR=N2+2NK−K2,UL=N2−2NK−K2,UC=N2+K2. \begin{aligned} N&=2C(p)^2,\\ U_R&=N^2+2NK-K^2,\\ U_L&=N^2-2NK-K^2,\\ U_C&=N^2+K^2. \end{aligned}

После умножения корней на общий знаменатель K(p)² получаем

a=C(p)B0(p),b=L(p)UR,c=R(p)UC,d=R(p)UR,h=R(p)UL,j=C(p)UR. \begin{aligned} a&=C(p)B_0(p),& b&=L(p)U_R,\\ c&=R(p)U_C,& d&=R(p)U_R,\\ h&=R(p)U_L,& j&=C(p)U_R. \end{aligned}

Тождественная корректность

b2+d2=2j2,d2+h2=2c2,a2+j2=b2+h2. b^2+d^2=2j^2,\qquad d^2+h^2=2c^2,\qquad a^2+j^2=b^2+h^2.

Все три равенства являются тождествами в ℤ[p]. Отношение b/d=L(p)/R(p) непостоянно, поэтому семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений. Конечное множество вырожденных специализаций следует исключить.

7. Точный положительный пример

При p=−2 корни выбранных клеток, с опущенными знаками, равны

(a,b,c,d,h,j)=(4565, 2303, 3029, 329, 4271, 1645). (a,b,c,d,h,j)= (4565,\ 2303,\ 3029,\ 329,\ 4271,\ 1645).

Восстановленный магический квадрат имеет вид

(2083922553038099174841108241117726252343700914370409182414412706025). \begin{pmatrix} 20839225&5303809&9174841\\ 108241&11772625&23437009\\ 14370409&18241441&2706025 \end{pmatrix}.

Его магическая сумма равна 35 317 875. Ровно клетки A,B,C,D,H,J являются попарно различными полными квадратами; E,F,G положительны и квадратами не являются. Это точный сертификат одного невырожденного решения 6/9.

8. Паспорт поверхности и граница результата

С точностью до ненулевой константы дискриминант якобиана равен

Δ(p)∼p2(p−1)2(p+1)2R(p)4K(p)2. \Delta(p)\sim p^2(p-1)^2(p+1)^2R(p)^4K(p)^2.

Два корня R(p) дают слои I₄. Точки p=0,±1, четыре корня K(p) и бесконечность дают восемь слоёв I₂. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

Доказанная граница ранга

1≤rank⁡E(Q‾(p))≤4. 1\le\operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(p))\le4.

Неторсионное сечение даёт нижнюю границу 1. Корневой ранг конфигурации 2I₄+8I₂ равен 14; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 4. Точный ранг и полнота выбранной квартической карты пока не определены.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABCDFHСледующая поверхность: ABCEGH / ABCEGJК оглавлению теории