Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.5

Маски ABCEGH и ABCEGJ: одна поверхность, два прочтения

В обеих масках две прогрессии квадратов имеют общий центр E. После их одновременной параметризации две разные жёлтые связи приводят к одной и той же квартике рода 1 — расщеплённой эллиптической K3-поверхности с двумя доказанно независимыми сечениями.

1. Две точные системы

Пусть строчные буквы обозначают рациональные корни выбранных клеток. Для ABCEGH независимые условия имеют вид

ABCEGH:{c2+g2=2e2,b2+h2=2e2,a2+c2=e2+h2. \mathrm{ABCEGH}:\qquad \begin{cases} c^2+g^2=2e^2,\\ b^2+h^2=2e^2,\\ a^2+c^2=e^2+h^2. \end{cases}

Для ABCEGJ меняются вторая прогрессия и жёлтая связь:

ABCEGJ:{c2+g2=2e2,a2+j2=2e2,b2+e2=g2+j2. \mathrm{ABCEGJ}:\qquad \begin{cases} c^2+g^2=2e^2,\\ a^2+j^2=2e^2,\\ b^2+e^2=g^2+j^2. \end{cases}

Это не только необходимые следствия магичности. В обоих случаях положим

E0=e2,x=a2−E0,y=E0−c2. E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-c^2.

Тогда общая форма магического квадрата восстанавливает C=c² и E=e². Первое равенство даёт G=g². Для ABCEGH третье равенство даёт H=h², после чего второе даёт B=b². Для ABCEGJ второе равенство даёт J=j², а третье — B=b². Поэтому каждая система достаточна для своей маски.

2. Общий центр E

Используем стандартную тройку

L(z)=z2−2z−1,C(z)=z2+1,R(z)=z2+2z−1, L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,L(z)2+R(z)2=2C(z)2.L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Общую прогрессию CEG и общий центр обеих вторых прогрессий зададим так:

c=L(p)C(q),e=C(p)C(q),g=R(p)C(q). c=L(p)C(q),\qquad e=C(p)C(q),\qquad g=R(p)C(q).

В маске ABCEGH к ней приклеивается BEH:

b=C(p)L(q),h=C(p)R(q),a=V. b=C(p)L(q),\qquad h=C(p)R(q),\qquad a=V.

В маске ABCEGJ те же два крайних корня занимают клетки A и J, а неизвестным становится B:

a=C(p)L(q),j=C(p)R(q),b=V. a=C(p)L(q),\qquad j=C(p)R(q),\qquad b=V.

Четыре красных отношения теперь выполняются тождественно. В каждом прочтении остаётся проверить только соответствующую жёлтую связь.

3. Почему квартика совпадает

Для ABCEGH неизвестный квадрат равен e²+h²−c²; для ABCEGJ — g²+j²−e². Их совпадение следует из элементарного тождества

C(p)2−L(p)2=R(p)2−C(p)2=4p(p2−1). C(p)^2-L(p)^2=R(p)^2-C(p)^2=4p(p^2-1).V2=C(p)2R(q)2+4p(p2−1)C(q)2=R(p)2q4+4C(p)2q3+2R(p)2q2−4C(p)2q+R(p)2. \begin{aligned} V^2 &=C(p)^2R(q)^2+4p(p^2-1)C(q)^2\\ &=R(p)^2q^4+4C(p)^2q^3+2R(p)^2q^2\\ &\qquad-4C(p)^2q+R(p)^2. \end{aligned}

Одна кривая, два отображения

Рациональная точка (p,q,V) этой квартики даёт одновременно решение обеих систем: в ABCEGH число V занимает клетку A, а в ABCEGJ — клетку B. Полнота этой карты для всех рациональных решений обеих масок не утверждается.

4. Расщеплённый якобиан

Инварианты бинарной квартики приводят к короткой модели

Y2=X3−1728P(p)X+27648R(p)2Q1(p)Q2(p), Y^2=X^3-1728P(p)X+27648R(p)^2Q_1(p)Q_2(p),P(p)=p8+2p7+8p6+2p5−2p4−2p3+8p2−2p+1,Q1(p)=p4−2p3+2p2+2p+1,Q2(p)=p4+p3+2p2−p+1. \begin{aligned} P(p)={}&p^8+2p^7+8p^6+2p^5-2p^4\\ &-2p^3+8p^2-2p+1,\\ Q_1(p)={}&p^4-2p^3+2p^2+2p+1,\\ Q_2(p)={}&p^4+p^3+2p^2-p+1. \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

(X−24R(p)2)(X−24Q1(p))(X+48Q2(p)). (X-24R(p)^2)(X-24Q_1(p))(X+48Q_2(p)).

Следовательно, над ℚ(p) видно полное рациональное 2-кручение. С точностью до ненулевой константы дискриминант равен

Δ(p)∼p2(p−1)2(p+1)2C(p)4D(p)2, \Delta(p)\sim p^2(p-1)^2(p+1)^2C(p)^4D(p)^2,D(p)=p4+2p3+2p2−2p+1. D(p)=p^4+2p^3+2p^2-2p+1.

Два корня C дают слои I₄. Точки p=0,±1, четыре корня D и бесконечность дают восемь слоёв I₂. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

5. Два рациональных сечения

Диагональное сечение

Подстановка q=−p немедленно даёт точку

q=−p,V=C(p)2.q=-p,\qquad V=C(p)^2.

В соответствующих квадратах некоторые выбранные клетки совпадают, поэтому само это семейство вырождено как семейство 6/9. На эллиптической поверхности, однако, оно задаёт полноценное сечение.

Сечение из касательной параболы

Пусть F(q) — правая часть квартики, а C=C(p), R=R(p). Парабола

Π(q)=R2−2C2Rq2−22R2−C2Rq+R \Pi(q)= \frac{R^2-2C^2}{R}q^2 -2\frac{2R^2-C^2}{R}q+R

проходит через (0,R) и касается ветви V=−2R при q=1. Разность раскладывается точно:

R2(F(q)−Π(q)2)=4q(q−1)2(C2q+2R2)(R2−C2). R^2\bigl(F(q)-\Pi(q)^2\bigr)= 4q(q-1)^2(C^2q+2R^2)(R^2-C^2).

Оставшееся пересечение даёт второе сечение

q=−2R(p)2C(p)2,V=R(p)B0(p)C(p)4,B0(p)=4R(p)4−3C(p)4. \begin{aligned} q&=-\frac{2R(p)^2}{C(p)^2},\\ V&=\frac{R(p)B_0(p)}{C(p)^4},\\ B_0(p)&=4R(p)^4-3C(p)^4. \end{aligned}

6. Независимость и граница ранга

Независимость секций проверяется не численным поиском, а точной специализацией p=2. После бирационального преобразования получается кривая

E2:y2=x3−x2−1425x+12177=(x−33)(x−9)(x+41), E_2:\quad y^2=x^3-x^2-1425x+12177 =(x-33)(x-9)(x+41),

а две секции переходят в точки

P=(214,5558),Q=(−15949,44400343). P=\left(\frac{21}{4},\frac{555}{8}\right), \qquad Q=\left(-\frac{159}{49},\frac{44400}{343}\right).

Точные подсчёты #E₂(𝔽₇)=8 и #E₂(𝔽₁₃)=20 ограничивают рациональное кручение порядком 4; видимое полное 2-кручение уже имеет этот порядок. В 2-десценте два класса кручения имеют ранг 2 над 𝔽₂, добавление P повышает ранг до 3, а добавление Q — до 4. Следовательно, P и Q независимы по модулю кручения.

Доказанная граница

2≤rank⁡E(Q‾(p))≤4. 2\le\operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(p))\le4.

Два независимых сечения дают нижнюю границу. Корневой ранг конфигурации 2I₄+8I₂ равен 14; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 4. Точный геометрический ранг пока не установлен.

7. Общее полиномиальное семейство

Сечение из касательной параболы можно очистить от знаменателей сразу для обеих масок. Положим

N=2R(p)2,UR=N2−2NC(p)2−C(p)4,UL=N2+2NC(p)2−C(p)4,UC=N2+C(p)4. \begin{aligned} N&=2R(p)^2,\\ U_R&=N^2-2NC(p)^2-C(p)^4,\\ U_L&=N^2+2NC(p)^2-C(p)^4,\\ U_C&=N^2+C(p)^4. \end{aligned}

Тогда семейство ABCEGH задаётся корнями

a=RB0,b=CUL,c=LUC,e=CUC,g=RUC,h=CUR, \begin{aligned} a&=R B_0,& b&=C U_L,& c&=L U_C,\\ e&=C U_C,& g&=R U_C,& h&=C U_R, \end{aligned}

а то же сечение в прочтении ABCEGJ даёт

a=CUL,b=RB0,c=LUC,e=CUC,g=RUC,j=CUR. \begin{aligned} a&=C U_L,& b&=R B_0,& c&=L U_C,\\ e&=C U_C,& g&=R U_C,& j&=C U_R. \end{aligned}

Здесь L,C,R и B₀ вычисляются при одном и том же p. Все шесть определяющих равенств двух масок являются тождествами в ℤ[p]. Отношение c/g=L(p)/R(p) непостоянно, поэтому после исключения конечного набора вырождений получаются бесконечно многие проективно различные рациональные решения.

8. Парный положительный пример

При p=−7 общее сечение даёт сразу два положительных магических квадрата. Для ABCEGH корни выбранных клеток равны

(a,b,c,e,g,h)=(14242447,16648975,22465979,18117725,12320053,19476025), (a,b,c,e,g,h)= (14242447,16648975,22465979,18117725,12320053,19476025),
(20284729654780927718836855062550472021242844163012487505625732825195917562526379043294993151783705922809379315549800625453656621803441). \begin{pmatrix} 202847296547809&277188368550625&504720212428441\\ 630124875056257&328251959175625&26379043294993\\ 151783705922809&379315549800625&453656621803441 \end{pmatrix}.

В прочтении ABCEGJ корни A и B меняются ролями, а последний корень занимает J:

(a,b,c,e,g,j)=(16648975,14242447,22465979,18117725,12320053,19476025), (a,b,c,e,g,j)= (16648975,14242447,22465979,18117725,12320053,19476025),
(277188368550625202847296547809504720212428441555783803053441328251959175625100720115297809151783705922809453656621803441379315549800625). \begin{pmatrix} 277188368550625&202847296547809&504720212428441\\ 555783803053441&328251959175625&100720115297809\\ 151783705922809&453656621803441&379315549800625 \end{pmatrix}.

Оба квадрата имеют магическую сумму 984 755 877 526 875, девять различных положительных клеток и ровно шесть квадратных клеток в заявленной маске.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABCDHJСледующая поверхность: ABDEFHК оглавлению теории