Эллиптические поверхности 6/9 · 5.6

Маска ABDEFH: три прогрессии квадратов

В этой треугольной маске все три определяющие связи красные. Две прогрессии имеют общий центр E, а третья связывает их крайние клетки F и H. Правильная остаточная квартика включает квадратичный твист и приводит к расщеплённой эллиптической K3-поверхности.

ABCDEFGHJ

ABDEFH: красные AFH, DEF и BEH

1. Точная система и восстановление

Пусть a,b,d,e,f,h — рациональные корни шести выбранных клеток. Три красные прогрессии записываются как

\begin{cases} f^2+h^2=2a^2,\\ d^2+f^2=2e^2,\\ b^2+h^2=2e^2. \end{cases}

Эти условия достаточны для восстановления магического квадрата. Положим

E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-x-d^2.

Тогда A=a², D=d² и E=e² по построению. Из второй прогрессии получается F=2E₀−d²=f². Первая даёт H=2a²−f²=h², а третья — B=2E₀−h²=b². Следовательно, система описывает саму маску ABDEFH, а не только необходимые следствия магичности.

2. Две прогрессии с общим центром

Как и прежде, используем тождество

L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,

L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Прогрессии DEF и BEH можно склеить по их общему центру E:

\begin{aligned} d&=L(t)C(s),& f&=R(t)C(s),\\ e&=C(t)C(s),\\ b&=C(t)L(s),& h&=C(t)R(s). \end{aligned}

Обе прогрессии теперь выполняются тождественно. Остаётся потребовать, чтобы среднее квадратов f² и h² также было квадратом a².

3. Квартика и обязательный твист

Положим V=2a. Тогда третья прогрессия принимает вид

V^2= 2\left(C(t)^2R(s)^2+R(t)^2C(s)^2\right).

Множитель 2 здесь существенен: его удаление сохраняет геометрию над алгебраическим замыканием, но меняет рациональную модель и рациональные секции. Для компактной записи обозначим

A=C(t)^2,\qquad B=R(t)^2,\qquad S=A+B.

После раскрытия скобок получаем

V^2= 2Ss^4+8As^3+4Ss^2-8As+2S.

Квартика содержит две очевидные рациональные точки

(s,V)=\bigl(t,2C(t)R(t)\bigr),\qquad \left(-\frac1t,\frac{2C(t)R(t)}{t^2}\right).

Они соответствуют вырожденным квадратам с совпадающими клетками A,F,H, но дают базовые точки для эллиптического закона сложения.

4. Расщеплённый якобиан

Инварианты правильно твистованной бинарной квартики дают модель

Y^2=X^3-1728P(t)X+55296H(t),

\begin{aligned} P(t)={}&7t^8+16t^7+44t^6+16t^5+10t^4\\ &-16t^3+44t^2-16t+7,\\ H(t)={}&L(t)^2D_1(t)D_2(t),\\ D_1(t)={}&t^4+2t^3+2t^2-2t+1,\\ D_2(t)={}&5t^4+4t^3+10t^2-4t+5. \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

\begin{aligned} X_0&=24Q(t),\\ X_1&=96D_1(t),\\ X_2&=-24D_2(t), \end{aligned}

Q(t)=t^4-4t^3+2t^2+4t+1.

Следовательно, над ℚ(t) видно полное рациональное 2-кручение. С точностью до ненулевой константы дискриминант равен

\Delta(t)\sim C(t)^4R(t)^4 \bigl(t^2+2t+3\bigr)^2 \bigl(3t^2-2t+1\bigr)^2.

Четыре корня C и R дают четыре слоя I₄; четыре корня двух оставшихся квадратичных множителей дают четыре слоя I₂. На бесконечности слой гладок. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная поверхность является K3.

5. Сечение из касательной параболы

Пусть G(s) — правая часть квартики. Через две отмеченные точки проведём параболу, касающуюся квартики в первой из них:

\Pi(s)=\frac{2}{C(t)} \left(\alpha(t)s^2+\beta(t)s+\gamma(t)\right),

\begin{aligned} \alpha(t)&=t^4+t^3+2t^2+3t-1,\\ \beta(t)&=t^4-2t^3-2t^2+2t+1,\\ \gamma(t)&=t^4+3t^3-2t^2+t-1. \end{aligned}

Вместо решения общего уравнения четвёртой степени разность раскладывается:

G(s)-\Pi(s)^2= -\frac4{C(t)^2}(s-t)^2(ts+1)(N(t)s+M(t)),

\begin{aligned} M(t)&=4t^5+t^4-12t^3+2t^2-8t+1,\\ N(t)&=t^5+8t^4+2t^3+12t^2+t-4. \end{aligned}

Первые три множителя отвечают уже заданным пересечениям. Последний даёт новое рациональное сечение

\begin{aligned} s(t)&=-\frac{M(t)}{N(t)},\\ V(t)&=\frac{2C(t)R(t)K(t)}{N(t)^2}, \end{aligned}

\begin{aligned} K(t)={}&13t^8-8t^7+132t^6-8t^5-82t^4\\ &+8t^3+132t^2+8t+13. \end{aligned}

6. Неторсионность и граница ранга

При хорошей специализации t=1 новое сечение даёт на квартике точку (3/5,104/25). После перехода к минимальной модели якобиана получаем

\begin{aligned} \mathcal E_1:\quad y^2 &=x^3-x^2-9x+9\\ &=(x-1)(x-3)(x+3),\\ P_1&=(-1,-4). \end{aligned}

Точные подсчёты дают #𝓔₁(𝔽₅)=8 и #𝓔₁(𝔽₇)=12, поэтому порядок рационального кручения делит 4. Видимое полное 2-кручение уже имеет порядок 4, а P₁ не является точкой 2-кручения. Следовательно, P₁ и исходное сечение имеют бесконечный порядок.

Доказанная граница

1\le\operatorname{rank}\mathcal E(\overline{\mathbb Q}(t))\le2.

Неторсионное сечение даёт нижнюю границу. Корневой ранг конфигурации 4I₄+4I₂ равен 16; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 2. Точный геометрический ранг пока не установлен.

7. Явное полиномиальное семейство

Знаменатель N(t)² можно убрать общим масштабированием всех корней. Положим

\begin{aligned} U_C&=M^2+N^2,\\ U_L&=M^2+2MN-N^2,\\ U_R&=M^2-2MN-N^2. \end{aligned}

Здесь M=M(t), N=N(t), а L,C,R,K также вычисляются при t. Тогда

\begin{aligned} a&=CRK,& b&=CU_L,& d&=LU_C,\\ e&=CU_C,& f&=RU_C,& h&=CU_R. \end{aligned}

Тождества семейства

f^2+h^2=2a^2,\qquad d^2+f^2=2e^2,\qquad b^2+h^2=2e^2.

Все три равенства являются тождествами в ℤ[t]. Отношение f/e=R(t)/C(t) непостоянно, поэтому после исключения конечного набора вырожденных специализаций семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений системы ABDEFH.

8. Точный положительный пример

При t=−2 после деления корней на их общий множитель 5 получаем

(a,b,d,e,f,h)= (12205,12607,20951,14965,2993,16999).

\begin{pmatrix} 148962025&158936449&363955201\\ 438944401&223951225&8958049\\ 83947249&288966001&298940425 \end{pmatrix}.

Магическая сумма равна 671 853 675. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,D,E,F,H. Это точный невырожденный сертификат маски ABDEFH.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABCEGH / ABCEGJ Следующая поверхность: ABDEFJ К оглавлению теории