Эллиптические поверхности 6/9 · 5.7

Маска ABDEFJ: цепочка трёх прогрессий

Во второй треугольной маске все три определяющие связи также красные, но устроены иначе. Прогрессии DEF и AEJ имеют общий центр E, а прогрессия BJD связывает их через клетки D и J. Остаточное условие даёт палиндромную квартику, расщеплённую эллиптическую K3-поверхность и явное бесконечное семейство решений.

ABCDEFGHJ

ABDEFJ: красные BDJ, DEF и AEJ

1. Точная система и восстановление

Пусть a,b,d,e,f,j — рациональные корни шести выбранных клеток. В обозначении BDJ серединой прогрессии является J: геометрический порядок клеток имеет вид B–J–D. Поэтому три красных условия записываются как

\begin{cases} b^2+d^2=2j^2,\\ d^2+f^2=2e^2,\\ a^2+j^2=2e^2. \end{cases}

Система не только необходима, но и достаточна для восстановления магического квадрата. Положим

E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-x-d^2.

Тогда A=a², D=d² и E=e² по построению. Третье равенство даёт J=E₀−x=j², второе — F=E₀+x+y=f², а первое — B=E₀−x+y=b². Следовательно, три выписанные прогрессии точно описывают маску ABDEFJ.

2. Две прогрессии с общим центром

Используем стандартное тождество

L(z)=z^2-2z-1,\qquad C(z)=z^2+1,\qquad R(z)=z^2+2z-1,

L(z)^2+R(z)^2=2C(z)^2.

Прогрессии DEF и AEJ можно одновременно параметризовать, склеив их по общему центру E:

\begin{aligned} d&=L(t)C(s),& f&=R(t)C(s),\\ e&=C(t)C(s),\\ a&=C(t)L(s),& j&=C(t)R(s). \end{aligned}

Обе прогрессии теперь выполняются тождественно. Для получения ABDEFJ остаётся потребовать существование рационального b, удовлетворяющего b²+d²=2j². Далее исследуется именно эта рациональная карта; полнота карты для всех рациональных решений исходной маски не утверждается.

3. Остаточная палиндромная квартика

Обозначим неизвестный корень b через V. После подстановки получаем

V^2=2C(t)^2R(s)^2-L(t)^2C(s)^2.

Тождество 2C(t)²−L(t)²=R(t)² приводит правую часть к форме

\begin{aligned} G_t(s)={}&R(t)^2s^4+8C(t)^2s^3+2R(t)^2s^2\\ &-8C(t)^2s+R(t)^2\\ ={}&R(t)^2(s^2+1)^2+8C(t)^2s(s^2-1). \end{aligned}

Это квартика рода 1 над ℚ(t). Точки (0,R(t)) и (1,2R(t)) видны сразу, но соответствуют вырожденной границе, где несколько клеток совпадают. Они нужны как исходные точки для группового закона, а не как искомые квадраты.

4. Расщеплённый якобиан

Инварианты бинарной квартики дают модель якобиана

Y^2=X^3-432P(t)X+3456R(t)^2D_5(t)D_7(t),

\begin{aligned} P(t)={}&13t^8+8t^7+68t^6+8t^5+46t^4\\ &-8t^3+68t^2-8t+13,\\ D_5(t)={}&5t^4-4t^3+10t^2+4t+5,\\ D_7(t)={}&7t^4+4t^3+14t^2-4t+7. \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

\begin{aligned} Y^2={}&\bigl(X-12D_5(t)\bigr) \bigl(X-24Q(t)\bigr) \bigl(X+12D_7(t)\bigr),\\ Q(t)={}&t^4+4t^3+2t^2-4t+1. \end{aligned}

Следовательно, над ℚ(t) видно полное рациональное 2-кручение. С точностью до ненулевой постоянной дискриминант равен

\Delta(t)\sim C(t)^4L(t)^4 \bigl(t^2+2t+3\bigr)^2 \bigl(3t^2-2t+1\bigr)^2.

Корни C и L дают четыре слоя I₄, а корни двух оставшихся квадратичных множителей — четыре слоя I₂. Слой на бесконечности гладок. Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

5. Новое сечение из касательной

Проведём через отмеченные пересечения параболу

\Pi_t(s)= \frac{R^2-4C^2}{R}s^2 -\frac{4(R^2-C^2)}{R}s+R,

где L,C,R вычисляются при t. Она касается квартики в s=1, и разность факторизуется без решения общего уравнения четвёртой степени:

R^2\bigl(G_t(s)-\Pi_t(s)^2\bigr) =8s(s-1)^2(C^2s+R^2)(R^2-2C^2).

Последний ещё не учтённый корень даёт рациональное сечение

s(t)=-\frac{R(t)^2}{C(t)^2},\qquad V(t)= \frac{R(t)\bigl(R(t)^4-3C(t)^4\bigr)}{C(t)^4}.

6. Неторсионность и граница ранга

При t=2 сечение даёт на квартике точку (−49/25,3682/625). На минимальной модели якобиана она переходит в

\begin{aligned} \mathcal E_2:\quad y^2 &=x^3-x^2-3300x+74052\\ &=(x-34)(x-33)(x+66),\\ P_2&=\left(\frac{1716}{49},-\frac{4950}{343}\right). \end{aligned}

Точные подсчёты дают #𝓔₂(𝔽₇)=8 и #𝓔₂(𝔽₁₃)=16, поэтому порядок рационального кручения делит 8. При редукции по модулю 19 точка P₂ переходит в (4,9) порядка 12. Для точки кручения порядок редукции должен делить её собственный порядок, что здесь невозможно. Следовательно, P₂ и исходное сечение имеют бесконечный порядок.

Доказанная граница

1\le\operatorname{rank}\mathcal E(\overline{\mathbb Q}(t))\le2.

Неторсионное сечение даёт нижнюю границу. Корневой ранг конфигурации 4I₄+4I₂ равен 16; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 2. Точный геометрический ранг пока не установлен.

7. Явное полиномиальное семейство

Для удаления знаменателя сечения положим

\begin{aligned} M&=R(t)^2,& N&=C(t)^2,\\ U_C&=M^2+N^2,\\ U_L&=M^2+2MN-N^2,\\ U_R&=M^2-2MN-N^2,\\ B_0&=M^2-3N^2. \end{aligned}

Тогда корни выбранных клеток задаются формулами

\begin{aligned} a&=C\,U_L,& b&=R\,B_0,& d&=L\,U_C,\\ e&=C\,U_C,& f&=R\,U_C,& j&=C\,U_R. \end{aligned}

Тождества семейства

b^2+d^2=2j^2,\qquad d^2+f^2=2e^2,\qquad a^2+j^2=2e^2.

Все три равенства являются тождествами в ℤ[t]. Отношение f/e=R(t)/C(t) непостоянно, поэтому после исключения конечного набора вырожденных специализаций семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений системы ABDEFJ.

8. Точный положительный пример

При t=2 после деления корней на их общий множитель 2 получаем следующий квадрат. Знаки корней не влияют на клетки.

A10565²5² · 2113²= 111 619 225

B1841²7² · 263²= 3 389 281

C56 679 169не квадрат

D1513²17² · 89²= 2 289 169

E7565²5² · 17² · 89²= 57 229 225

F10591²7² · 17² · 89²= 112 169 281

G57 779 281не квадрат

H111 069 169не квадрат

J1685²5² · 337²= 2 839 225

Квадратные клетки показаны через корень; для составного корня ниже приведена простая факторизация самого квадрата.

Магическая сумма равна 171 687 675. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,D,E,F,J. Это точный невырожденный сертификат маски ABDEFJ.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABDEFH Следующая поверхность: ABEFGH К оглавлению теории