Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.8

Маска ABEFGH: треугольник попарных средних

Шесть квадратных клеток образуют здесь три арифметические прогрессии без выделенной центральной вершины: три исходных квадрата попарно имеют квадратные средние. Совместность этих прогрессий приводит к одной мультипликативной задаче для рациональной функции r, а её якобиан оказывается обратным образом семейства Лежандра на эллиптической K3-поверхности.

ABCDEFGHJ
ABEFGH: красные AFH, BEH и BFG

1. Точная система

Пусть a,b,e,f,g,h — рациональные корни выбранных клеток. Три красных условия имеют вид

{f2+h2=2a2,b2+h2=2e2,b2+f2=2g2. \begin{cases} f^2+h^2=2a^2,\\ b^2+h^2=2e^2,\\ b^2+f^2=2g^2. \end{cases}

Это треугольник попарных средних: исходными вершинами можно считать b²,f²,h², а a²,e²,g² являются средними трёх их пар. Система не только необходима, но и достаточна для восстановления магического квадрата. Положим

E0=e2,x=a2−E0,y=a2−h2. E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=a^2-h^2.

Тогда A=a², E=e² и H=h² по построению. Второе равенство даёт B=b², первое — F=f², а третье — G=g². Остальные клетки однозначно восстанавливаются общей формой магического квадрата.

2. Замыкание трёх прогрессий

Обозначим стандартные формы

L(t)=t2−2t−1,C(t)=t2+1,R(t)=t2+2t−1. L(t)=t^2-2t-1,\qquad C(t)=t^2+1,\qquad R(t)=t^2+2t-1.L(t)2+R(t)2=2C(t)2.L(t)^2+R(t)^2=2C(t)^2.

Каждую из трёх прогрессий можно записать, с точностью до общего масштаба, тройкой L,C,R. Введём параметры x,z,y соответственно для BEH, AFH и BFG. Тогда отношения концов равны

bh=L(x)R(x),hf=L(z)R(z),bf=L(y)R(y). \frac bh=\frac{L(x)}{R(x)},\qquad \frac hf=\frac{L(z)}{R(z)},\qquad \frac bf=\frac{L(y)}{R(y)}.

Условие замыкания треугольника выражает третье отношение через первые два. Поэтому, если

r(t)=L(t)R(t)=t2−2t−1t2+2t−1, r(t)=\frac{L(t)}{R(t)} =\frac{t^2-2t-1}{t^2+2t-1},

то вся совместность масштабов сводится к

r(x) r(z)=r(y).r(x)\,r(z)=r(y).

Далее исследуется эта рациональная карта. Она порождает решения исходной системы, но полнота карты для всех рациональных решений ABEFGH здесь не утверждается.

3. Склейка двух коник

Уравнение по y квадратично. После выделения его дискриминанта и замены s=z−1/z условие рациональности распадается на две коники. Их произведение даёт квартку рода 1

U2=(s2+4)((x2+1)2s2+16x(x2−1)s+4(x2+1)2). U^2=(s^2+4)\Bigl( (x^2+1)^2s^2+16x(x^2-1)s+4(x^2+1)^2 \Bigr).

Первый множитель кодирует обратимость замены z−1/z, второй — квадратность дискриминанта уравнения для y. Поэтому исходная громоздкая совместность читается как fiber product двух рациональных коник над одной s-прямой.

4. Якобиан и форма Лежандра

Инварианты бинарной квартики приводят к компактной модели якобиана

Ex:Y2=X3−27P(x)X−54Q(x), \mathcal E_x:\quad Y^2=X^3-27P(x)X-54Q(x),P(x)=x8−8x6+30x4−8x2+1,Q(x)=(x2+1)2(x4−10x2+1)(x4−4x2+1). \begin{aligned} P(x)&=x^8-8x^6+30x^4-8x^2+1,\\ Q(x)&=(x^2+1)^2(x^4-10x^2+1)(x^4-4x^2+1). \end{aligned}

Кубический многочлен полностью раскладывается:

Y2=(X+3(x2+1)2)(X+3(x4−10x2+1))⋅(X−6(x4−4x2+1)). \begin{aligned} Y^2={}&\bigl(X+3(x^2+1)^2\bigr) \bigl(X+3(x^4-10x^2+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(X-6(x^4-4x^2+1)\bigr). \end{aligned}

Следовательно, над ℚ(x) видно полное рациональное 2-кручение. Перенос трёх корней в 0,1,λ даёт форму Лежандра

v2=u(u−1)(u−λ),λ=4x2(x2−1)2. v^2=u(u-1)(u-\lambda),\qquad \lambda=\frac{4x^2}{(x^2-1)^2}.

Таким образом, поверхность ABEFGH является явным обратным образом стандартного однопараметрического семейства Лежандра при рациональной замене λ=4x²/(x²−1)².

5. Паспорт эллиптической K3-поверхности

Дискриминант компактной модели факторизуется как

Δ=28312x4(x−1)4(x+1)4(x2−2x−1)2(x2+2x−1)2. \Delta= 2^8 3^{12}x^4(x-1)^4(x+1)^4 (x^2-2x-1)^2(x^2+2x-1)^2.

Точки x=0,±1 и бесконечность дают четыре слоя I₄; четыре корня двух оставшихся квадратичных множителей дают четыре слоя I₂. Все слои полустабильны, а сумма их чисел Эйлера равна 24. Минимальная эллиптическая поверхность является K3 и имеет паспорт

4I4+4I2.4I_4+4I_2.

6. Неторсионная секция и граница ранга

На модели Лежандра видна секция

u=(x2+1x2−1)2,v=2x(x2+1)(x2−1)2. u=\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^2,\qquad v=\frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}.

Её неторсионность можно доказать точной специализацией. При x=2 секция переходит в точку (17,−60) на кривой

E2:y2=x3−x2−64x+64=(x−8)(x−1)(x+8). \mathcal E_2:\quad y^2=x^3-x^2-64x+64 =(x-8)(x-1)(x+8).

Точные подсчёты дают #𝓔₂(𝔽₅)=8 и #𝓔₂(𝔽₁₁)=16, поэтому порядок рационального кручения делит 8. По модулю 17 выбранная точка имеет порядок 3, что для такой точки кручения невозможно. Следовательно, секция имеет бесконечный порядок.

Доказанная граница

1≤rank⁡E(Q‾(x))≤2. 1\le\operatorname{rank}\mathcal E(\overline{\mathbb Q}(x))\le2.

Неторсионная секция даёт нижнюю границу. Корневой ранг конфигурации 4I₄+4I₂ равен 16; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 2. Точный геометрический ранг пока не установлен.

7. Обратный подъём и полиномиальное семейство

Удвоим секцию и поднимем 2S с модели Лежандра обратно к уравнению для r. Получаются рациональные функции

z(x)=x4−2x3+2x2+2x+1x4+2x3+2x2−2x+1,y(x)=(x+1)(x4−2x3−2x2−2x+1)(x−1)(x4+2x3−2x2+2x+1). \begin{aligned} z(x)&=\frac{x^4-2x^3+2x^2+2x+1} {x^4+2x^3+2x^2-2x+1},\\[1mm] y(x)&=\frac{(x+1)(x^4-2x^3-2x^2-2x+1)} {(x-1)(x^4+2x^3-2x^2+2x+1)}. \end{aligned}

Для них тождественно выполнено

r(x)r(z(x))=r(y(x)).r(x)r(z(x))=r(y(x)).

Знаменатели можно убрать без раскрытия громоздких произведений. Для пары T=(T₀,T₁) положим

LT=T02−2T0T1−T12,CT=T02+T12,RT=T02+2T0T1−T12. \begin{aligned} L_T&=T_0^2-2T_0T_1-T_1^2,\\ C_T&=T_0^2+T_1^2,\\ R_T&=T_0^2+2T_0T_1-T_1^2. \end{aligned}

Возьмём X=(x,1), а Z=(Z₀,Z₁) и Y=(Y₀,Y₁) — соответственно числители и знаменатели выписанных z(x),y(x). Тогда явное полиномиальное семейство корней имеет компактный вид

a=RXCZRY,b=LXLZRY,e=CXLZRY,f=RXRZRY,g=RXRZCY,h=RXLZRY. \begin{aligned} a&=R_XC_ZR_Y,& b&=L_XL_ZR_Y,& e&=C_XL_ZR_Y,\\ f&=R_XR_ZR_Y,& g&=R_XR_ZC_Y,& h&=R_XL_ZR_Y. \end{aligned}LXLZRY=RXRZLY.L_XL_ZR_Y=R_XR_ZL_Y.

Тождества L²+R²=2C² сразу доказывают условия AFH и BEH. Поднятое равенство между двумя выражениями для b заменяет его в третьем условии и доказывает BFG. Поэтому все три уравнения ABEFGH выполняются тождественно в ℤ[x]. Непостоянство отношений даёт бесконечно много проективно различных решений вне конечного набора вырожденных специализаций.

8. Точный положительный пример

При x=2, после удаления общего множителя корней, семейство даёт следующий магический квадрат. Знаки корней не влияют на его клетки.

A5383272 · 7692= 28 976 689
B10812232 · 472= 1 168 561
C57 496 825не квадрат
D57 734 161не квадрат
E5405252 · 232 · 472= 29 214 025
F833274 · 172= 693 889
G965252 · 1932= 931 225
H7567272 · 232 · 472= 57 259 489
J29 451 361не квадрат
Квадратные клетки показаны через корень; для составного корня ниже приведена простая факторизация самого квадрата.

Его магическая сумма равна 87 642 075. Все клетки положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,E,F,G,H. Это точный невырожденный сертификат маски ABEFGH.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABDEFJК оглавлению теории