Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.9

Маска ABCDEF: чётная квартика и двенадцать особых слоёв

Одна прогрессия квадратов, гауссова норма и норма x²+2y² сводятся к чётной квартике рода 1. Её якобиан — расщеплённая эллиптическая K3-поверхность с паспортом 12I₂; неторсионная секция порождает явное полиномиальное семейство квадратов ABCDEF.

ABCDEFGHJ
ABCDEF: красная DEF, жёлтая ACDE, голубая BCDE

1. Точная система

Пусть a,b,c,d,e,f — рациональные корни выбранных клеток. Три независимых условия маски ABCDEF имеют вид

{d2+f2=2e2,a2+d2=c2+e2,b2+2c2=d2+2e2. \begin{cases} d^2+f^2=2e^2,\\ a^2+d^2=c^2+e^2,\\ b^2+2c^2=d^2+2e^2. \end{cases}

Первая строка — красная прогрессия DEF; вторая — жёлтое равенство двух гауссовых норм; третья — голубое равенство норм типа x²+2y². Система достаточна для восстановления всего магического квадрата. Если

E0=e2,x=a2−E0,y=E0−c2, E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-c^2,

то остальные клетки восстанавливаются общей формой

(E0+xE0−x+yE0−yE0−x−yE0E0+x+yE0+yE0+x−yE0−x). \begin{pmatrix} E_0+x&E_0-x+y&E_0-y\\ E_0-x-y&E_0&E_0+x+y\\ E_0+y&E_0+x-y&E_0-x \end{pmatrix}.

2. Сначала прогрессия DEF

Введём стандартные формы

L(t)=t2−2t−1,C(t)=t2+1,R(t)=t2+2t−1. L(t)=t^2-2t-1,\qquad C(t)=t^2+1,\qquad R(t)=t^2+2t-1.

Тождество L(t)²+R(t)²=2C(t)² параметризует первую строку. С точностью до общего масштаба положим

d=L(t),e=C(t),f=R(t). d=L(t),\qquad e=C(t),\qquad f=R(t).

Разность, необходимая для жёлтого условия, также сразу факторизуется:

K(t):=e2−d2=C(t)2−L(t)2=4t(t2−1). K(t):=e^2-d^2=C(t)^2-L(t)^2=4t(t^2-1).

Поэтому a²−c²=K(t). Вместо угадывания a и c разложим эту разность на два множителя:

u=a+c,a−c=K(t)u, u=a+c,\qquad a-c=\frac{K(t)}u,
a=12(u+K(t)u),c=12(u−K(t)u). a=\frac12\left(u+\frac{K(t)}u\right),\qquad c=\frac12\left(u-\frac{K(t)}u\right).

На этой аффинной карте красное и жёлтое условия уже выполнены тождественно. Остаётся только голубое.

3. Остаточная чётная квартика

Чтобы не носить знаменатель u, положим B=2ub. Подстановка выражения для c в третье уравнение и умножение на 4u² дают

Ct:B2=−2u4+12C(t)2u2−2K(t)2. \mathcal C_t:\quad B^2=-2u^4+12C(t)^2u^2-2K(t)^2.

Точный обратный подъём

Любая рациональная точка (u,B) этой квартики с u≠0 возвращает решение исходной системы по формулам

a=12(u+Ku),b=B2u,c=12(u−Ku),d=L(t),e=C(t),f=R(t). \begin{aligned} a&=\frac12\left(u+\frac Ku\right),& b&=\frac{B}{2u},& c&=\frac12\left(u-\frac Ku\right),\\ d&=L(t),& e&=C(t),& f&=R(t). \end{aligned}

Квартика имеет отмеченную рациональную точку

u0=2t(t−1),B0=4t(t−1)R(t). u_0=2t(t-1),\qquad B_0=4t(t-1)R(t).

Она соответствует диагональному вырождению a=e, b=f, c=d. Поэтому гладкий общий слой является отмеченной кривой рода 1, а не неразрешённым торсором.

4. Якобиан и полное 2-кручение

Для бинарной квартики вычислим классические инварианты

I=48(K(t)2+3C(t)4),J=3456C(t)2(K(t)2−C(t)4). \begin{aligned} I&=48\bigl(K(t)^2+3C(t)^4\bigr),\\ J&=3456C(t)^2\bigl(K(t)^2-C(t)^4\bigr). \end{aligned}

Короткая модель якобиана имеет вид

Et:Y2=X3−27I(t)X−27J(t). \mathcal E_t:\quad Y^2=X^3-27I(t)X-27J(t).

Её кубика раскладывается полностью и особенно прозрачно:

Y2=(X−36R(t)2)(X−36L(t)2)(X+72C(t)2). Y^2= \bigl(X-36R(t)^2\bigr) \bigl(X-36L(t)^2\bigr) \bigl(X+72C(t)^2\bigr).

Следовательно, все три ненулевые точки порядка 2 рациональны над ℚ(t). Полное расщепление объясняет симметрии знаков исходной квартики и делает особые слои доступными прямому вычислению.

5. Паспорт K3-поверхности

С точностью до ненулевой константы дискриминант равен

Δ(t)∼t2(t−1)2(t+1)2⋅(t2−2t+3)2(t2+2t+3)2⋅(3t2−2t+1)2(3t2+2t+1)2. \begin{aligned} \Delta(t)\sim{}& t^2(t-1)^2(t+1)^2 \cdot(t^2-2t+3)^2(t^2+2t+3)^2\\ &\cdot(3t^2-2t+1)^2(3t^2+2t+1)^2. \end{aligned}

Одиннадцать конечных корней просты в приведённом основании дискриминанта, а c₄ на них не обращается в нуль: это одиннадцать слоёв I₂. После замены s=1/t и минимального масштабирования X=s⁻⁴Xₛ, Y=s⁻⁶Yₛ дискриминант имеет в s=0 порядок 2, тогда как c₄ остаётся ненулевым. Над бесконечностью находится ещё один слой I₂.

fiber configuration=12I2.\text{fiber configuration}=12I_2.

Сумма чисел Эйлера равна 12·2=24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

6. Неторсионная секция и ранг

Выберем отмеченную точку квартики за начало группового закона. Другой знаковый подъём того же диагонального квадрата переходит в сечение

PX(t)=−36L(t)2,PY(t)=−432C(t)(t4−6t2+1). \begin{aligned} P_X(t)&=-36L(t)^2,\\ P_Y(t)&=-432C(t)(t^4-6t^2+1). \end{aligned}

Неторсионность доказывается точной специализацией. При t=2 получаем

E2:y2=x3−3176496x+114307200,P2=(−36,15120). \mathcal E_2:\quad y^2=x^3-3176496x+114307200,\qquad P_2=(-36,15120).

Хорошие редукции дают #E₂(𝔽₅)=8 и #E₂(𝔽₁₃)=16, поэтому порядок рационального кручения делит 8. Но редукция P₂ по модулю 19 имеет порядок 7. Для точки кручения это невозможно; следовательно, P и все его ненулевые кратные имеют бесконечный порядок.

Доказанная граница ранга

1≤rank⁡E(Q‾(t))≤6. 1\le\operatorname{rank}\mathcal E(\overline{\mathbb Q}(t))\le6.

Нижняя граница дана секцией P. Конфигурация 12I₂ имеет корневой ранг 12; формула Шиоды—Тейта и неравенство ρ≤20 для комплексной K3 дают rank≤20−2−12=6. Точный геометрический ранг здесь не утверждается.

7. Полиномиальное семейство из 2P

Само P кодирует вырожденный диагональный квадрат, но удвоение уже уходит с диагонали. Обратное бирациональное преобразование 2P и удаление общего знаменателя дают компактную запись через пять вспомогательных многочленов.

H1=t8−4t7+6t6+8t5+28t4+12t3−6t2+3,H2=3t8−6t6−12t5+28t4−8t3+6t2+4t+1,H=H1H2. \begin{aligned} H_1={}&t^8-4t^7+6t^6+8t^5+28t^4+12t^3-6t^2+3,\\ H_2={}&3t^8-6t^6-12t^5+28t^4-8t^3+6t^2+4t+1,\\ H={}&H_1H_2. \end{aligned}
A0=t16+44t14−96t13−92t12+96t11+788t10+192t9−1226t8−192t7+788t6−96t5−92t4+96t3+44t2+1,B0=5t16−28t15+52t14−108t13+100t12−284t11+524t10−204t9−82t8+204t7+524t6+284t5+100t4+108t3+52t2+28t+5,C0=t16−16t15−4t14−48t13+68t12−176t11−188t10−144t9+502t8+144t7−188t6+176t5+68t4+48t3−4t2+16t+1. \begin{aligned} A_0={}&t^{16}+44t^{14}-96t^{13}-92t^{12}+96t^{11} +788t^{10}+192t^9\\ &-1226t^8-192t^7+788t^6-96t^5-92t^4+96t^3+44t^2+1,\\ B_0={}&5t^{16}-28t^{15}+52t^{14}-108t^{13}+100t^{12}-284t^{11} +524t^{10}\\ &-204t^9-82t^8+204t^7+524t^6+284t^5+100t^4+108t^3+52t^2+28t+5,\\ C_0={}&t^{16}-16t^{15}-4t^{14}-48t^{13}+68t^{12}-176t^{11} -188t^{10}\\ &-144t^9+502t^8+144t^7-188t^6+176t^5+68t^4+48t^3-4t^2+16t+1. \end{aligned}

Тогда корни шести квадратных клеток равны

a=C(t)A0(t),b=R(t)B0(t),c=L(t)C0(t),d=L(t)H(t),e=C(t)H(t),f=R(t)H(t). \begin{aligned} a&=C(t)A_0(t),& b&=R(t)B_0(t),& c&=L(t)C_0(t),\\ d&=L(t)H(t),& e&=C(t)H(t),& f&=R(t)H(t). \end{aligned}

Тождественная корректность

Подстановка этих шести многочленов обращает все три уравнения ABCDEF в нуль в ℤ[t]. Отношение a/e непостоянно, поэтому семейство содержит бесконечно много проективно различных решений вне конечного набора вырожденных специализаций. Кратные 4P,6P,… дают следующие рациональные семейства той же поверхности.

8. Точный положительный пример

При t=2 семейство даёт следующий магический квадрат. Знаки корней не влияют на значения клеток.

A52 · 4333932
B72 · 672 · 46572
C11236312
D32 · 1392 · 9072
E32 · 52 · 1392 · 9072
F32 · 72 · 1392 · 9072
G5889933973889
H2382043636361
J2456743286825
Квадратные клетки записаны в разложении на простые множители.

Магическая сумма равна 10 728 720 897 075. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,C,D,E,F. Это точный невырожденный сертификат маски ABCDEF.

9. Граница результата

Получены явная эллиптическая поверхность, доказанная бесконечная подгруппа её сечений и полиномиальное семейство решений. Это существенно сильнее отдельного подобранного примера.

При этом не утверждается, что семейство из 2P перечисляет все рациональные решения ABCDEF, и точный геометрический ранг K3-поверхности пока не определён.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABEFGHК оглавлению теории