Частичные квадратные конфигурации · 3.3

Ранние семейства F1–F8

F1, F2, F3, F4, F7 и F8 — ранняя упрощённая классификация явных совпадений значений tf. Как классификация она устарела: семейства не образуют непересекающихся классов и не исчерпывают все решения. Однако лежащие в её основе тождества остаются верными и дают доступное введение в более общие конструкции F4+, F7+ и нормовые семейства.

1. Решаемое уравнение

Напомним обозначения предыдущей статьи:

f(a,b)=ab(a-b)(a+b),\qquad \operatorname{tf}(a,b)=t\!\left(f(a,b)\right).

Пара (a,b) называется невырожденной, если ни один из четырёх множителей функции f не равен нулю. Для двух невырожденных целых пар равенство значений tf эквивалентно условию

\operatorname{tf}(a,b)=\operatorname{tf}(c,d) \iff \frac{f(a,b)}{f(c,d)}\in(\mathbb Q^\times)^2.

Все формулы ниже можно рассматривать над ℚ. После умножения каждой пары на общий знаменатель она становится целочисленной, а значение f умножается на четвёртую степень; квадратный класс и значение tf при этом не меняются.

Статус нумерации

Индекс F фиксирует историческую форму подстановки, а не современный структурный класс. Поэтому два разных индекса могут описывать эквивалентные механизмы, а отсутствие индекса не означает отсутствие решений.

2. Линейные семейства F1, F2 и F3

В первых трёх семействах вторая пара линейно выражается через первую:

\begin{array}{c|c} \mathrm{F1} & (a,b)\longmapsto(2a,a+b)\\ \mathrm{F2} & (a,b)\longmapsto(2a,a-b)\\ \mathrm{F3} & (a,b)\longmapsto(a+b,b) \end{array}

Раскрытие f сокращает по три из четырёх линейных множителей:

\begin{aligned} f(2a,a+b) &=2a(a+b)(a-b)(3a+b),\\ f(2a,a-b) &=2a(a-b)(a+b)(3a-b),\\ f(a+b,b) &=(a+b)ba(a+2b). \end{aligned}

Поэтому условия совпадения квадратных классов принимают вид

\begin{aligned} \mathrm{F1}:&\quad \frac{f(a,b)}{f(2a,a+b)} =\frac{b}{2(3a+b)}\in(\mathbb Q^\times)^2,\\ \mathrm{F2}:&\quad \frac{f(a,b)}{f(2a,a-b)} =\frac{b}{2(3a-b)}\in(\mathbb Q^\times)^2,\\ \mathrm{F3}:&\quad \frac{f(a,b)}{f(a+b,b)} =\frac{a-b}{a+2b}\in(\mathbb Q^\times)^2. \end{aligned}

В каждом случае после сокращения остаётся только отношение двух линейных форм. Именно поэтому все три уравнения сводятся к коникам и имеют полные квадратичные параметризации.

3. Вывод полных параметризаций F1–F3

Коэффициенты в параметризациях не требуется угадывать. В каждом из трёх случаев сокращённое отношение из предыдущего раздела должно быть ненулевым рациональным квадратом. Запишем этот квадрат как n²/m², где m,n∈ℚ×.

\begin{aligned} \mathrm{F1}:&\quad \frac{b}{2(3a+b)}=\frac{n^2}{m^2} \iff b(m^2-2n^2)=6an^2,\\ \mathrm{F2}:&\quad \frac{b}{2(3a-b)}=\frac{n^2}{m^2} \iff b(m^2+2n^2)=6an^2,\\ \mathrm{F3}:&\quad \frac{a-b}{a+2b}=\frac{n^2}{m^2} \iff a(m^2-n^2)=b(m^2+2n^2). \end{aligned}

После выбора m и n каждое равенство оставляет для пары (a,b) только общий масштаб. Обозначая его через λ∈ℚ×, получаем

\begin{aligned} \mathrm{F1}:&\quad \frac{a}{m^2-2n^2} =\frac{b}{6n^2} =\lambda,\\ \mathrm{F2}:&\quad \frac{a}{m^2+2n^2} =\frac{b}{6n^2} =\lambda,\\ \mathrm{F3}:&\quad \frac{a}{m^2+2n^2} =\frac{b}{m^2-n^2} =\lambda. \end{aligned}

Теперь остаётся применить линейные подстановки, которыми были определены F1, F2 и F3. Так одновременно выводятся обе пары:

\begin{array}{c|c|c} & (a,b) & (c,d)\\ \hline \mathrm{F1} & \lambda(m^2-2n^2,\;6n^2) & \lambda(2m^2-4n^2,\;m^2+4n^2)\\[2pt] \mathrm{F2} & \lambda(m^2+2n^2,\;6n^2) & \lambda(2m^2+4n^2,\;m^2-4n^2)\\[2pt] \mathrm{F3} & \lambda(m^2+2n^2,\;m^2-n^2) & \lambda(2m^2+n^2,\;m^2-n^2) \end{array}

Все переходы были равносильными. Поэтому этот вывод одновременно доказывает корректность формул и полноту каждой параметризации внутри соответствующего линейного анзаца: всякое невырожденное рациональное решение задаёт квадрат n²/m², а после выбора представляющих его m,n — общий масштаб λ.

Условия λmn≠0 исключают нулевой масштаб и нулевой квадрат отношения. Для F2 дополнительно требуется m²≠4n², а для F3 — m²≠n²; именно при этих равенствах одна из построенных пар вырождается. В F1 при λmn≠0 вырождение над ℚ невозможно.

4. F4: равенство самих значений f

F4 начинается с более сильного условия: первые аргументы двух пар совпадают, а значения f не просто принадлежат одному квадратному классу, но равны:

f(a,b)=f(a,d).

При a≠0 раскрытие и сокращение общего множителя дают

\begin{aligned} b(a^2-b^2)&=d(a^2-d^2),\\ a^2(b-d)&=b^3-d^3\\ &=(b-d)(b^2+bd+d^2). \end{aligned}

Ветвь b=d тривиальна. На нетривиальной ветви b≠d остаётся коника

a^2=b^2+bd+d^2.

Полная параметризация F4

Все рациональные точки нетривиальной ветви, кроме вырожденных точек, задаются формулами

\begin{aligned} a&=\lambda(m^2+mn+n^2),\\ b&=\lambda(m^2-n^2),\\ d&=\lambda(2mn+n^2), \end{aligned} \qquad \lambda\in\mathbb Q^\times.

Для невырожденности требуется mn(m−n)(m+n)(2m+n)(m+2n)≠0.

Проверка

После удаления общего масштаба λ обозначим правые части через A,B,D. Их линейные множители равны

\begin{aligned} B&=(m-n)(m+n),& A-B&=n(m+2n),& A+B&=m(2m+n),\\ D&=n(2m+n),& A-D&=m(m-n),& A+D&=(m+n)(m+2n). \end{aligned}

Поэтому обе стороны состоят из одних и тех же множителей:

\begin{aligned} f(A,B) &=A\,mn(m-n)(m+n)(m+2n)(2m+n)\\ &=f(A,D). \end{aligned}

Почему параметризация полна

При b≠0 разделим конику на b² и положим x=d/b, y=a/b. Получим y²=1+x+x² с рациональной точкой (0,1). Прямая y=1+sx пересекает конику второй раз в точке

x=\frac{1-2s}{s^2-1},\qquad y=\frac{s^2-s+1}{1-s^2}.

Это стандартная параметризация всех рациональных точек коники. Подстановка s=(m+2n)/(2m+n) и восстановление общего масштаба приводит к формулам для a,b,d выше. Значение 2m+n=0 соответствует проективной предельной точке с d=0 и уже исключено условием невырожденности.

5. F7: саморекурсия прогрессии квадратов

F7 сопоставляет исходной паре (m,n) средний член и шаг порождённой ею прогрессии квадратов:

(m,n)\longmapsto(C,D),\qquad C=(m^2+n^2)^2,\qquad D=4f(m,n).

Положим

S=m^2+n^2,\qquad R=-m^2+2mn+n^2,\qquad W=m^2+2mn-n^2.

Тождества прогрессии квадратов дают C−D=R² и C+D=W². Поэтому

\begin{aligned} f(C,D) &=CD(C-D)(C+D)\\ &=S^2\cdot4f(m,n)\cdot R^2W^2\\ &=f(m,n)(2SRW)^2. \end{aligned}

Отношение двух значений f является квадратом, следовательно

\operatorname{tf}(m,n) = \operatorname{tf}\!\left((m^2+n^2)^2,\;4f(m,n)\right).

Формула верна для всякой невырожденной рациональной пары. Она строит одно новое представление того же значения tf, но не утверждает, что все пары с этим значением получаются итерациями F7. На конгруэнтной эллиптической кривой эта операция соответствует удвоению точки.

6. F8: четвертичный подъём

F8 использует четыре выражения

\begin{aligned} A&=u^4+2v^4,&\qquad B&=2v^4,\\ C&=u^4+4v^4,&\qquad D&=4u^2v^2. \end{aligned}

Первые четыре множителя раскрываются особенно просто:

A-B=u^4,\qquad A+B=C,\qquad C-D=(u^2-2v^2)^2,\qquad C+D=(u^2+2v^2)^2.

Отсюда

\frac{f(C,D)}{f(A,B)} = \frac{ 2(u^2-2v^2)^2(u^2+2v^2)^2 }{ u^2v^2(u^4+2v^4) }.

Все множители этого отношения, кроме 2/(u⁴+2v⁴), уже являются квадратами. Поэтому для невырожденных u,v равенство tf(A,B)=tf(C,D) выполняется тогда и только тогда, когда существует w∈ℚ такое, что

w^2=\frac{u^4}{2}+v^4.

При выполнении этого условия отношение действительно становится явным квадратом:

\frac{f(C,D)}{f(A,B)} = \left( \frac{(u^2-2v^2)(u^2+2v^2)}{uvw} \right)^2.

Эллиптическая кривая F8

Условие на w является кривой рода 1. Подстановка

x=\frac{2u^2}{v^2},\qquad y=\frac{4uw}{v^3}

переводит её в эллиптическую кривую

y^2=x^3+8x.

Действительно, подстановка w²=u⁴/2+v⁴ даёт

y^2 =\frac{16u^2}{v^6}\left(\frac{u^4}{2}+v^4\right) =\frac{8u^6}{v^6}+\frac{16u^2}{v^2} =x^3+8x.

Таким образом, сама формула F8 элементарна, но выбор допустимых u,v уже является эллиптической задачей. F8 даёт точное семейство решений для рациональных точек указанного четвертичного подъёма, а не классификацию всех совпадений tf такого типа.

7. Что именно классифицируют старые индексы

Семейства	Доказанная область	Современная интерпретация
F1–F3	Полное покрытие каждого указанного линейного анзаца	Разные представители одного линейного структурного слоя
F4	Полная нетривиальная ветвь f(a,b)=f(a,d)	Конический предельный слой будущей конструкции F4+
F7	Тождество для каждой невырожденной исходной пары	Удвоение точки на кривой фиксированного значения tf
F8	Точное условие внутри указанного четвертичного анзаца	Четвертичный подъём нормового семейства к эллиптической кривой

Поэтому раннюю нумерацию удобно сохранять как словарь конкретных формул, но нельзя использовать как доказательство полноты общего уравнения tf(a,b)=tf(c,d). Более общая теория должна классифицировать механизмы и геометрические пространства решений, а не последовательность исторически найденных подстановок.

Общая теория масок 4/9 и 5/9 →Назад к fmn и tfmn