Эллиптические поверхности 6/9 · 5.11

Маска ABCDEG: две гауссовы склейки и поверхность 12I₂

Центральная прогрессия CEG и две жёлтые квадрики сводятся к равенству разностей двух пар квадратов, а затем — к чётной квартике рода 1. Её якобиан является расщеплённой эллиптической K3-поверхностью с паспортом 12I₂; неторсионная секция и касательная конструкция дают явное полиномиальное семейство ABCDEG.

ABCDEFGHJ

ABCDEG: красная CEG; жёлтые ACDE и ABEG

1. Точная система

Пусть a,b,c,d,e,g — рациональные корни выбранных клеток. Для маски ABCDEG остаются три независимые квадрики

\begin{cases} c^2+g^2=2e^2,\\ a^2+d^2=c^2+e^2,\\ a^2+b^2=e^2+g^2. \end{cases}

Первая строка — красная прогрессия CEG; две следующие строки — жёлтые равенства гауссовых норм на ACDE и ABEG. Система необходима и достаточна для выбранных шести клеток. Положив

E_0=e^2,\qquad x=a^2-E_0,\qquad y=E_0-g^2.

Тогда весь магический квадрат восстанавливается в обычной форме

\begin{pmatrix} E_0+x&E_0-x-y&E_0+y\\ E_0-x+y&E_0&E_0+x-y\\ E_0-y&E_0+x+y&E_0-x \end{pmatrix}.

2. Центральная прогрессия CEG

Введём стандартные формы

L(t)=t^2-2t-1,\qquad C(t)=t^2+1,\qquad R(t)=t^2+2t-1.

Тождество L²+R²=2C² даёт полную проективную параметризацию непостоянной прогрессии квадратов. На выбранной аффинной карте положим

c=L(t),\qquad e=C(t),\qquad g=R(t).

Разность крайних клеток равна

\delta(t):=c^2-g^2=L(t)^2-R(t)^2=-8t(t^2-1).

Вычитание двух жёлтых уравнений теперь устраняет a и даёт особенно простую связь

d^2-b^2=c^2-g^2=\delta(t).

3. Остаточная чётная квартика

Положим v=b+d. При v≠0 предыдущее равенство полностью обращается:

b=\frac12\left(v-\frac{\delta}{v}\right),\qquad d=\frac12\left(v+\frac{\delta}{v}\right).

Остаётся потребовать, чтобы восстановленное значение a² также было квадратом. После замены Y=2av обе жёлтые строки дают одно и то же уравнение

\mathcal C_t:\qquad Y^2=-v^4+8C(t)^2v^2-\delta(t)^2.

Точный обратный подъём

Каждая рациональная точка (v,Y) этой квартики с v≠0 возвращает решение ABCDEG по формулам

\begin{aligned} a&=\frac{Y}{2v},& b&=\frac12\left(v-\frac{\delta}{v}\right),& c&=L(t),\\ d&=\frac12\left(v+\frac{\delta}{v}\right),& e&=C(t),& g&=R(t). \end{aligned}

Квартика имеет рациональные точки v=L+R, Y=2C(L+R) и v=L−R, Y=±2C(L−R). Они отвечают знаковым подъёмам диагонального решения a²=e², b²=g², d²=c². Поэтому общий гладкий слой является отмеченной кривой рода 1, а не нетривиальным торсором без рациональной точки.

4. Якобиан и полное 2-кручение

Для бинарной квартики вычисляются классические инварианты

\begin{aligned} I={}&64(t^8+16t^6-18t^4+16t^2+1),\\ J={}&-1024C(t)^2 (t^4-6t^3+2t^2+6t+1)\\ &\hspace{5.7em}\cdot(t^4+6t^3+2t^2-6t+1). \end{aligned}

Возьмём короткую модель якобиана

\mathcal E_t:\qquad \mathsf Y^2=\mathsf X^3-27I(t)\mathsf X-27J(t).

Её кубика раскладывается над ℚ(t) полностью:

\begin{aligned} \mathsf Y^2={}& \bigl(\mathsf X-24(t^4+6t^3+2t^2-6t+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X-24(t^4-6t^3+2t^2+6t+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X+48C(t)^2\bigr). \end{aligned}

Следовательно, якобиан имеет полную рациональную подгруппу 2-кручения. Это свойство относится к выбранной фибрации поверхности; оно не означает, что все рациональные точки уже перечислены.

5. Паспорт K3-поверхности

С точностью до ненулевой константы дискриминант равен

\begin{aligned} \Delta(t)\sim{}& t^2(t-1)^2(t+1)^2\\ &\cdot(t^4-2t^3+2t^2+2t+1)^2\\ &\cdot(t^4+2t^3+2t^2-2t+1)^2. \end{aligned}

Одиннадцать конечных корней основания дискриминанта просты, и c₄ на них не обращается в нуль. Поэтому над ними находятся одиннадцать слоёв I₂. После замены s=1/t и минимального масштабирования порядок дискриминанта при s=0 равен 2, а c₄ остаётся ненулевым: над бесконечностью находится ещё один I₂.

\text{fiber configuration}=12I_2.

Сумма чисел Эйлера равна 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

6. Неторсионная секция и ранг

Обозначим

\begin{aligned} U={}&t^8-2t^6+18t^4-2t^2+1,\\ V_-={}&t^4-2t^3+2t^2+2t+1,\\ V_+={}&t^4+2t^3+2t^2-2t+1. \end{aligned}

Ковариантное отображение квартики в её якобиан даёт сечение

P(t)=\left( \frac{96U(t)}{C(t)^2}, \frac{864L(t)R(t)V_-(t)V_+(t)}{C(t)^3} \right).

Неторсионность проверяется точной специализацией при t=2:

\mathcal E_2:\quad y^2=x^3-1826496x-463795200, \qquad P_2=\left(\frac{39264}{25},-\frac{2909088}{125}\right).

Хорошие редукции имеют #E₂(𝔽₇)=4 и #E₂(𝔽₂₃)=20, поэтому порядок рационального кручения делит 4. Но образ P₂ по модулю 11 имеет порядок 6. Для точки кручения это невозможно, следовательно P имеет бесконечный порядок.

Доказанная граница ранга

1\le\operatorname{rank} \mathcal E(\overline{\mathbb Q}(t))\le6.

Нижнюю границу даёт P. Двенадцать слоёв I₂ имеют суммарный корневой ранг 12; формула Шиоды—Тейта и ρ≤20 для комплексной K3 дают верхнюю границу 20−2−12=6. Точный геометрический ранг здесь не утверждается.

7. Явное полиномиальное семейство

Чтобы получить недиагональную точку самой квартики, проведём параболу через

(L+R,\,2C(L+R)),\qquad (L-R,\,-2C(L-R))

и потребуем касание в первой точке. Четвёртое пересечение имеет координату

v_1=-\frac{4tQ_1(t)Q_2(t)}{P_-(t)P_+(t)},

\begin{aligned} P_\pm&=t^4\pm4t^3+10t^2\pm4t+1,\\ Q_1&=t^4-2t^2+5,\qquad Q_2=5t^4-2t^2+1,\\ H&=P_-P_+Q_1Q_2. \end{aligned}

Определим ещё два многочлена

\begin{aligned} A_{16}={}&7t^{16}-168t^{14}+516t^{12}-2456t^{10}+5994t^8\\ &-2456t^6+516t^4-168t^2+7,\\ B_{16}={}&t^{16}+48t^{15}-88t^{14}-16t^{13}+92t^{12}+688t^{11}\\ &-872t^{10}+752t^9+1990t^8-752t^7-872t^6-688t^5\\ &+92t^4+16t^3-88t^2-48t+1. \end{aligned}

После обратного подъёма и удаления общего знаменателя корни шести квадратных клеток равны

\begin{aligned} a&=C(t)A_{16}(t),& b&=-R(t)B_{16}(t),& c&=L(t)H(t),\\ d&=L(t)B_{16}(-t),& e&=C(t)H(t),& g&=R(t)H(t). \end{aligned}

Тождественная корректность

Подстановка этих многочленов обращает все три уравнения ABCDEG в нуль в ℤ[t]. Отношение a/e непостоянно, поэтому вне конечного набора вырожденных параметров семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений. Групповой закон якобиана даёт дальнейшие семейства, но выписанное семейство не объявляется полным перечислением всех рациональных точек.

8. Точный положительный пример

При t=4/5 после удаления общего рационального масштаба получается следующий магический квадрат. Знаки корней не влияют на клетки.

A19² · 41² · 1904865750013²

B31² · 39066764315519²

C5² · 7⁴ · 13² · 17² · 29² · 89² · 1601² · 8161²

D7⁴ · 11² · 129089² · 26757859²

E5² · 13² · 17² · 29² · 41² · 89² · 1601² · 8161²

F1202155296701953230994185478129

G5² · 13² · 17² · 29² · 31² · 89² · 1601² · 8161²

H3201706256042037743233998634129

J2466465282865062936601360603921

Квадратные клетки записаны в разложении на простые множители.

Магическая сумма равна 7 002 594 088 855 587 635 573 178 990 075. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,C,D,E,G.

9. Точная граница результата

Квартическая модель описывает общий невырожденный открытый слой маски ABCDEG. Исключённые значения v=0, постоянная красная прогрессия и бесконечная карта параметра требуют соседних проективных карт, но не меняют вычисленный якобиан общего слоя.

Доказаны существование неторсионной секции, граница геометрического ранга и бесконечное явное семейство. Не утверждается ни точное значение ранга, ни полнота одного семейства, ни автоматическая положительность каждой рациональной специализации.

К полному атласу 6/9 →Предыдущая поверхность: ABEFGJ / ABDFHJ Следующая поверхность: ABCDFG К оглавлению теории