Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.13

Маска ABCDGJ: одна прогрессия и две гауссовы нормы

Красная прогрессия BDJ задаёт разность квадратов в обеих жёлтых квадриках. После её параметризации система сводится к чётной кривой рода 1. Её якобиан — расщеплённая эллиптическая K3-поверхность 12I₂ с неторсионной секцией.

ABCDEFGHJ
ABCDGJ: красная BDJ; жёлтые ACGJ и BCDG

1. Точная красно-жёлто-жёлтая система

Пусть a,b,c,d,g,j — рациональные корни выбранных клеток. Маска ABCDGJ определяется тремя независимыми условиями

b2+d2=2j2,a2+j2=c2+g2,b2+c2=d2+g2. \begin{aligned} b^2+d^2&=2j^2,\\ a^2+j^2&=c^2+g^2,\\ b^2+c^2&=d^2+g^2. \end{aligned}

Первая строка — красная прогрессия BDJ. Вторая и третья — равенства гауссовых норм на ACGJ и BCDG. Вместе они необходимы и достаточны для шести выбранных клеток.

Для восстановления всего квадрата положим

E0=a2+j22,x=a2−j22,y=c2−g22. E_0=\frac{a^2+j^2}{2},\qquad x=\frac{a^2-j^2}{2},\qquad y=\frac{c^2-g^2}{2}.(E0+xE0−x−yE0+yE0−x+yE0E0+x−yE0−yE0+x+yE0−x). \begin{pmatrix} E_0+x&E_0-x-y&E_0+y\\ E_0-x+y&E_0&E_0+x-y\\ E_0-y&E_0+x+y&E_0-x \end{pmatrix}.

2. Красная прогрессия BDJ

Используем стандартную тройку

L(t)=t2−2t−1,C(t)=t2+1,R(t)=t2+2t−1. L(t)=t^2-2t-1,\qquad C(t)=t^2+1,\qquad R(t)=t^2+2t-1.

Тождество L²+R²=2C² параметризует красное условие. На выбранной аффинной карте берём

b=L(t),j=C(t),d=R(t). b=L(t),\qquad j=C(t),\qquad d=R(t).

Разность крайних квадратов равна

δ(t):=R(t)2−L(t)2=8t(t2−1). \delta(t):=R(t)^2-L(t)^2=8t(t^2-1).

Третья квадрика теперь просто утверждает c²−g²=δ. Тем самым одна и та же величина δ связывает красную прогрессию с обеими жёлтыми нормами.

3. Остаточная чётная квартика

Положим v=c+g. При v≠0 равенство c²−g²=δ обращается полностью:

c=12(v+δv),g=12(v−δv). c=\frac12\left(v+\frac{\delta}{v}\right),\qquad g=\frac12\left(v-\frac{\delta}{v}\right).

Подстановка во вторую жёлтую квадрику и замена Y=2av дают

Ct:Y2=2v4−4C(t)2v2+2δ(t)2. \mathcal C_t:\qquad Y^2=2v^4-4C(t)^2v^2+2\delta(t)^2.

Точный обратный подъём

Каждая рациональная точка (v,Y) с v≠0 возвращает решение ABCDGJ:

a=Y2v,b=L(t),c=12(v+δv),d=R(t),g=12(v−δv),j=C(t). \begin{aligned} a&=\frac{Y}{2v},& b&=L(t),& c&=\frac12\left(v+\frac{\delta}{v}\right),\\ d&=R(t),& g&=\frac12\left(v-\frac{\delta}{v}\right),& j&=C(t). \end{aligned}

Квартика имеет естественные рациональные точки (R+L,2C(R+L)) и (R−L,±2C(R−L)). Они соответствуют диагональным решениям a²=j², c²=d², g²=b². Поэтому общий гладкий слой является отмеченной кривой рода 1.

4. Якобиан и полное 2-кручение

Для бинарной квартики из предыдущего раздела классические инварианты равны

I=16(t8+196t6−378t4+196t2+1),J=128C(t)2(t4−24t3+2t2+24t+1)⋅(t4+24t3+2t2−24t+1). \begin{aligned} I={}&16(t^8+196t^6-378t^4+196t^2+1),\\ J={}&128C(t)^2 (t^4-24t^3+2t^2+24t+1)\\ &\qquad\cdot(t^4+24t^3+2t^2-24t+1). \end{aligned}

Возьмём короткую модель якобиана

Et:Y2=X3−27I(t)X−27J(t). \mathcal E_t:\qquad \mathsf Y^2=\mathsf X^3-27I(t)\mathsf X-27J(t).

Её кубика полностью раскладывается над ℚ(t):

Y2=(X−24C2)⋅(X+12(t4−24t3+2t2+24t+1))⋅(X+12(t4+24t3+2t2−24t+1)). \begin{aligned} \mathsf Y^2={}&(\mathsf X-24C^2)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X+12(t^4-24t^3+2t^2+24t+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X+12(t^4+24t^3+2t^2-24t+1)\bigr). \end{aligned}

Следовательно, якобиан имеет полное рациональное 2-кручение. Две жёлтые квадрики не создают нового квадратного расширения: их симметрия уже видна в трёх линейных множителях.

5. Паспорт K3-поверхности

С точностью до ненулевой константы дискриминант имеет вид

Δ(t)∼t2(t−1)2(t+1)2⋅(t4−8t3+2t2+8t+1)2⋅(t4+8t3+2t2−8t+1)2. \begin{aligned} \Delta(t)\sim{}& t^2(t-1)^2(t+1)^2\\ &\cdot(t^4-8t^3+2t^2+8t+1)^2\\ &\cdot(t^4+8t^3+2t^2-8t+1)^2. \end{aligned}

Одиннадцать конечных корней основания дискриминанта просты, а c₄ на них не обращается в нуль: это одиннадцать слоёв I₂. После минимального преобразования в карте s=1/t над бесконечностью появляется ещё один I₂.

fiber configuration=12I2.\text{fiber configuration}=12I_2.

Суммарное число Эйлера равно 24, поэтому минимальная эллиптическая поверхность является K3.

6. Неторсионная секция и ранг

Ковариантное отображение полного пересечения двух квадрик переводит диагональную точку (a,c,g)=(C,R,L) в секцию

P(t)=(24U16(t)(LCR)2,3456t2(t2−1)2V1V2V3V4(LCR)3), P(t)=\left( \frac{24U_{16}(t)}{(LCR)^2}, \frac{3456t^2(t^2-1)^2V_1V_2V_3V_4}{(LCR)^3} \right),
U16=t16−8t14+380t12−1464t10+2438t8−1464t6+380t4−8t2+1,V1=t4−6t3+2t−1,V2=t4−2t3+6t−1,V3=t4+2t3−6t−1,V4=t4+6t3−2t−1. \begin{aligned} U_{16}={}&t^{16}-8t^{14}+380t^{12}-1464t^{10}+2438t^8\\ &-1464t^6+380t^4-8t^2+1,\\ V_1={}&t^4-6t^3+2t-1,& V_2={}&t^4-2t^3+6t-1,\\ V_3={}&t^4+2t^3-6t-1,& V_4={}&t^4+6t^3-2t-1. \end{aligned}

При t=2 получаем кривую и точку

E2:y2=x3−3255984x+1737590400,P2=(126789361225,4449103718442875). \begin{aligned} E_2:\quad y^2&=x^3-3255984x+1737590400,\\ P_2&=\left(\frac{12678936}{1225}, \frac{44491037184}{42875}\right). \end{aligned}

В хороших редукциях #E₂(𝔽₁₁)=16 и #E₂(𝔽₁₃)=20, поэтому рациональное кручение имеет порядок, делящий 4. При этом образ P₂ по модулю 13 имеет порядок 5. Значит P₂, а вместе с ним и общая секция P(t), неторсионны.

Граница Морделла—Вейля

Неторсионная секция даёт нижнюю границу 1. Для конфигурации 12I₂ тривиальная решётка имеет ранг 14; из ρ≤20 для K3-поверхности по формуле Шиоды—Тейта следует

1≤rank⁡E(Q‾(t))≤6.1\le \operatorname{rank}\mathcal E(\overline{\mathbb Q}(t))\le6.

7. Явное бесконечное семейство

Проведём через точку (R+L,2C(R+L)) параболу, касательную к квартике, и потребуем, чтобы она проходила через (R−L,−2C(R−L)). Четвёртая точка пересечения имеет координаты

v=−4tN8Q8,Y=8tC M16Q82, v=-\frac{4tN_8}{Q_8},\qquad Y=\frac{8tC\,M_{16}}{Q_8^2},
Q8=t8−20t6+22t4−20t2+1,N8=t8+12t6−42t4+12t2+1,M16=t16−72t14+636t12−2936t10+4998t8−2936t6+636t4−72t2+1. \begin{aligned} Q_8={}&t^8-20t^6+22t^4-20t^2+1,\\ N_8={}&t^8+12t^6-42t^4+12t^2+1,\\ M_{16}={}&t^{16}-72t^{14}+636t^{12}-2936t^{10}+4998t^8\\ &-2936t^6+636t^4-72t^2+1. \end{aligned}

После обратного подъёма и удаления общего знаменателя получаем корни степени 18:

a=−C M16,b=L Q8N8,d=R Q8N8,j=C Q8N8,c=−2tN82−(t2−1)Q82,g=−2tN82+(t2−1)Q82. \begin{aligned} a&=-C\,M_{16},& b&=L\,Q_8N_8,& d&=R\,Q_8N_8,\\ j&=C\,Q_8N_8,& c&=-2tN_8^2-(t^2-1)Q_8^2,\\ g&=-2tN_8^2+(t^2-1)Q_8^2. \end{aligned}

Тождественная корректность

Подстановка обращает все три квадрики ABCDGJ в нуль в ℤ[t]. Отношение a/j непостоянно, поэтому вне конечного набора вырожденных параметров семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений.

8. Точный положительный пример

При t=−3 после удаления общего множителя корней получается следующий магический квадрат. Знаки корней не влияют на клетки.

A52 · 432 · 96292
B72 · 4012 · 7512
C10487992
D4012 · 7512
E3276585537625
F6462479150449
G72 · 2712 · 12312
H2109266760001
J52 · 4012 · 7512
Квадратные клетки записаны в разложении на простые множители.

Магическая сумма равна 9 829 756 612 875. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,C,D,G,J.

9. Точная граница результата

Квартическая модель описывает общий невырожденный открытый слой ABCDGJ. Значения v=0, постоянная красная прогрессия, нули Q₈N₈ и карта t=∞ требуют соседних проективных карт, но не меняют якобиан общего слоя.

Доказаны K3-паспорт, существование неторсионной секции, граница геометрического ранга и бесконечное явное семейство. Не утверждаются точный ранг, полнота выписанного семейства или положительность каждой рациональной специализации.

К полному атласу 6/9 →Следующая поверхность: ABCGHJПредыдущая поверхность: ABCDFGК оглавлению теории