Magic Squaresproof atlas
← К циклу о поверхностях 6/9

Эллиптические поверхности 6/9 · 5.14

Маска ABCGHJ: K3-поверхность без красной прогрессии

Две гауссовы нормы и одна норма вида x²+2y² задают гладкое пересечение трёх квадрик. Гауссова факторизация открывает на нём эллиптическую K3-поверхность 4I₄+4I₂, неторсионную секцию и явное бесконечное семейство квадратов.

ABCDEFGHJ
ABCGHJ: жёлтые ACGJ и ABHJ; голубая ACHJ

1. Точная жёлто-жёлто-голубая система

Пусть a,b,c,g,h,j — рациональные корни выбранных клеток. Для маски ABCGHJ необходимы и достаточны три условия

a2+j2=c2+g2,a2+j2=b2+h2,a2+2c2=2h2+j2. \begin{aligned} a^2+j^2&=c^2+g^2,\\ a^2+j^2&=b^2+h^2,\\ a^2+2c^2&=2h^2+j^2. \end{aligned}

Первые две строки — равенства гауссовых норм на ACGJ и ABHJ. Третья строка — голубая норма на ACHJ. Красной трёхчленной прогрессии в этой маске нет.

Весь магический квадрат восстанавливается по формулам

E0=a2+j22,x=a2−j22,y=c2−g22, E_0=\frac{a^2+j^2}{2},\qquad x=\frac{a^2-j^2}{2},\qquad y=\frac{c^2-g^2}{2},(E0+xE0−x−yE0+yE0−x+yE0E0+x−yE0−yE0+x+yE0−x). \begin{pmatrix} E_0+x&E_0-x-y&E_0+y\\ E_0-x+y&E_0&E_0+x-y\\ E_0-y&E_0+x+y&E_0-x \end{pmatrix}.

2. Почему исходная поверхность уже является K3

После проективизации три квадрики задают полное пересечение степени (2,2,2) в ℙ⁵. Для проверки гладкости запишем коэффициенты квадратов a²,b²,c²,g²,h²,j² столбцами:

M=(10−1−1011−100−111020−2−1). M= \begin{pmatrix} 1&0&-1&-1&0&1\\ 1&-1&0&0&-1&1\\ 1&0&2&0&-2&-1 \end{pmatrix}.

Сертификат гладкости

Все 20 миноров 3×3 матрицы M ненулевые. Поэтому никакое нетривиальное решение трёх квадрик не может иметь меньше четырёх ненулевых координат, а столбцы якобиана на его носителе имеют ранг 3. Проективная поверхность гладка.

По формуле сопряжения канонический пучок гладкого пересечения трёх квадрик в ℙ⁵ тривиален. Кроме того, H¹(𝒪)=0 по теореме Лефшеца о гиперплоском сечении; то же исчезновение получается из комплекса Кошуля полного пересечения. Следовательно, исходная поверхность ABCGHJ является K3. Якобиан выбранного ниже расслоения — дополнительная эллиптическая модель этой поверхности.

3. Гауссова карта

Введём три гауссовых множителя с рациональными параметрами

α=1+ip,β=1+iq,γ=1+ir \alpha=1+ip,\qquad \beta=1+iq,\qquad \gamma=1+ir

и определим корни тремя произведениями

a+ij=αβγ,c+ig=αβγ‾,h+ib=αβ‾γ. a+ij=\alpha\beta\gamma,\qquad c+ig=\alpha\beta\overline\gamma,\qquad h+ib=\alpha\overline\beta\gamma.
a=1−pq−pr−qr,j=p+q+r−pqr,c=1−pq+pr+qr,g=p+q−r+pqr,h=1+pq−pr+qr,b=p−q+r+pqr. \begin{aligned} a&=1-pq-pr-qr,& j&=p+q+r-pqr,\\ c&=1-pq+pr+qr,& g&=p+q-r+pqr,\\ h&=1+pq-pr+qr,& b&=p-q+r+pqr. \end{aligned}

Все три комплексных числа имеют одну норму (1+p²)(1+q²)(1+r²), поэтому обе жёлтые квадрики выполняются тождественно. Голубая квадрика остаётся единственным условием:

A(p,q)(r2−1)+4B(p,q)r=0, A(p,q)(r^2-1)+4B(p,q)r=0,
A(p,q)=p2+q2+12pq−p2q2−1,B(p,q)=p2q−pq2+p−q. \begin{aligned} A(p,q)&=p^2+q^2+12pq-p^2q^2-1,\\ B(p,q)&=p^2q-pq^2+p-q. \end{aligned}

Это квадратное уравнение по r. Поэтому на этой карте K3-поверхность является двойным накрытием плоскости (p,q):

W2=A(p,q)2+4B(p,q)2. W^2=A(p,q)^2+4B(p,q)^2.

Карта бирациональна на плотном открытом множестве: обратные параметры восстанавливаются непосредственно из корней:

r=jc−aga2+j2+ac+jg,q=jh−aba2+j2+ah+jb,p=j(1−qr)−a(q+r)a(1−qr)+j(q+r). \begin{aligned} r&=\frac{jc-ag}{a^2+j^2+ac+jg},& q&=\frac{jh-ab}{a^2+j^2+ah+jb},\\ p&=\frac{j(1-qr)-a(q+r)} {a(1-qr)+j(q+r)}. \end{aligned}

4. Квартика рода 1 над ℚ(q)

Если считать q параметром основания, двойное накрытие становится квартикой по p:

W2=(q2+1)2p4+32q(1−q2)p3+2(q4+66q2+1)p2+32q(q2−1)p+(q2+1)2. \begin{aligned} W^2={}&(q^2+1)^2p^4+32q(1-q^2)p^3\\ &+2(q^4+66q^2+1)p^2\\ &+32q(q^2-1)p+(q^2+1)^2. \end{aligned}

Точка (p,W)=(0,q²+1) задаёт рациональное начало. Поэтому общий гладкий слой — не просто кривая рода 1, а отмеченная эллиптическая кривая над ℚ(q).

5. Расщеплённый якобиан

Классические инварианты бинарной квартики равны

I=16(q8+228q6+710q4+228q2+1),J=128(q4−24q3+18q2−24q+1)⋅(q4+18q2+1)⋅(q4+24q3+18q2+24q+1). \begin{aligned} I={}&16(q^8+228q^6+710q^4+228q^2+1),\\ J={}&128(q^4-24q^3+18q^2-24q+1)\\ &\quad\cdot(q^4+18q^2+1)\\ &\quad\cdot(q^4+24q^3+18q^2+24q+1). \end{aligned}

В короткой модели

Y2=X3−27I(q)X−27J(q) \mathsf Y^2=\mathsf X^3-27I(q)\mathsf X-27J(q)

кубика полностью раскладывается:

Y2=(X−24(q4+18q2+1))⋅(X+12(q4−24q3+18q2−24q+1))⋅(X+12(q4+24q3+18q2+24q+1)). \begin{aligned} \mathsf Y^2={}& \bigl(\mathsf X-24(q^4+18q^2+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X+12(q^4-24q^3+18q^2-24q+1)\bigr)\\ &\cdot\bigl(\mathsf X+12(q^4+24q^3+18q^2+24q+1)\bigr). \end{aligned}

Следовательно, эллиптическая кривая имеет полное рациональное 2-кручение.

6. Паспорт 4I₄+4I₂ и граница ранга

С точностью до ненулевой константы дискриминант имеет вид

Δ(q)∼q2(q2+1)2(q2−4q+1)4(q2+4q+1)4. \Delta(q)\sim q^2(q^2+1)^2(q^2-4q+1)^4(q^2+4q+1)^4.

Четыре корня q²±4q+1 дают четыре слоя I₄. Точки q=0 и q=±i дают три слоя I₂, а минимальная карта при q=∞ — четвёртый I₂. Для относительно минимальной модели с сечением эти слои имеют сумму чисел Эйлера 4·4+4·2=24, согласованную с уже доказанным K3-свойством.

Тривиальная решётка расслоения имеет ранг 2+4·3+4·1=18. Так как число Пикара K3 не превосходит 20, формула Шиоды—Тейта даёт геометрический ранг не выше 2.

7. Неторсионная секция и бесконечное семейство

Касательная парабола к отмеченной точке квартики даёт следующую рациональную секцию:

p(q)=−2q(q2−2q−1)(q2+2q−1)(q−1)(q+1)(q2+1)2,W(q)=q12−26q10+207q8−300q6+207q4−26q2+1(q−1)2(q+1)2(q2+1)3. \begin{aligned} p(q)&=\frac{-2q(q^2-2q-1)(q^2+2q-1)} {(q-1)(q+1)(q^2+1)^2},\\ W(q)&=\frac{q^{12}-26q^{10}+207q^8-300q^6+207q^4-26q^2+1} {(q-1)^2(q+1)^2(q^2+1)^3}. \end{aligned}

Она поднимается через квадратное уравнение по r:

r(q)=(q−1)(q6−13q4−16q3−13q2+1)(q+1)(q6−13q4+16q3−13q2+1). r(q)= \frac{(q-1)(q^6-13q^4-16q^3-13q^2+1)} {(q+1)(q^6-13q^4+16q^3-13q^2+1)}.

Секция имеет бесконечный порядок

При q=2 она переходит в точку (34,240) на минимальной кривой y²=x³+x²−9040x+324500. Хорошие редукции по модулям 7 и 17 имеют соответственно 8 и 24 точки, поэтому рациональное кручение имеет порядок, делящий 8. Но редукция выбранной точки по модулю 17 имеет порядок 3. Значит точка, а вместе с ней и общая секция, неторсионна.

1≤rank⁡E(Q‾(q))≤2.1\le \operatorname{rank}E(\overline{\mathbb Q}(q))\le2.

Подставляя p(q), q и r(q) в гауссовы формулы раздела 3, получаем явное однопараметрическое семейство. Общий знаменатель можно взять равным

D(q)=(q−1)(q+1)2(q2+1)2⋅(q6−13q4+16q3−13q2+1). D(q)=(q-1)(q+1)^2(q^2+1)^2 \cdot(q^6-13q^4+16q^3-13q^2+1).

После умножения шести корней на D и удаления общего постоянного множителя получаются примитивные многочлены степени 14 в ℤ[q]. Все три исходные квадрики обращаются в нуль тождественно, а отношение a/j непостоянно. Поэтому семейство содержит бесконечно много проективно различных рациональных решений ABCGHJ.

8. Точный положительный пример

При q=−3 после удаления общего множителя корней получается следующий магический квадрат. Знаки корней не влияют на клетки.

A54 · 7332
B72 · 50092
C172092
D580800481
E620456425
F660112369
G72 · 43912
H33912
J52 · 112 · 5472
Квадратные клетки записаны в разложении на простые множители.

Магическая сумма равна 1 861 369 275. Все девять клеток положительны и попарно различны; полными квадратами являются ровно A,B,C,G,H,J.

9. Точная граница результата

Гладкость доказана для всей проективной поверхности — полного пересечения трёх квадрик. Гауссова факторизация и двойное накрытие описывают плотную открытую часть; нули использованных знаменателей требуют соседних проективных карт.

Доказаны конфигурация 4I₄+4I₂, полное рациональное 2-кручение, существование неторсионной секции, граница 1≤rank≤2 и бесконечное явное семейство. Не утверждаются точный ранг, полнота этого семейства или положительность каждой рациональной специализации.

К полному атласу 6/9 →Итоги цикла: общая геометрия 6/9Предыдущая поверхность: ABCDGJК оглавлению теории