Открытая задача и её частичные формы
Магический квадрат из квадратов 3×3
Существует ли невырожденный магический квадрат порядка 3, все девять различных целых значений которого являются полными квадратами? Для обычной арифметики эта задача остаётся открытой.
Общая форма
Каждый магический квадрат 3×3 однозначно задаётся тремя координатами E, x, y. Центр равен E, а магическая сумма равна 3E:
Полная задача 9/9 требует, чтобы все девять линейных форм были различными неотрицательными квадратами целых чисел. Лаборатория позволяет непосредственно изменять E, x, y и проверять получающийся квадрат.
Почему мы начинаем с 4/9 и 5/9
Вместо недоказанного существования 9/9 мы фиксируем набор клеток, значения которых гарантированно являются квадратами. Это условие не запрещает остальным клеткам случайно оказаться квадратными: 4/9 и 5/9 обозначают гарантированную маску, а не обязательно точное число квадратных значений.
Вращения и отражения квадрата образуют группу D₄. С точностью до этого действия существует 23 маски из четырёх клеток и 23 дополнительные к ним маски из пяти клеток.
Что содержит доказательство
- полное разложение масок по орбитам D₄ и доказательство отсутствия других орбит;
- исходную систему уравнений в E, x, y и квадратных корнях;
- исключение E, x, y до одной квадрики для 4/9 и двух независимых квадрик для 5/9;
- явные параметризации, условия применимости и максимально широкие доказанные области покрытия.