Вычеты и квадратичные вычеты в магических квадратах 3×3

1. Сравнение магических квадратов

Пусть n≥1. Два целочисленных квадрата сравнимы по модулю n, если их соответствующие клетки сравнимы. Для магических квадратов форма m(E,x,y) переводит это условие точно в сравнение трёх координат.

Теорема

\mathcal M(E,x,y)\equiv\mathcal M(E',x',y')\pmod n \iff \begin{cases} E\equiv E'\pmod n,\\ x\equiv x'\pmod n,\\ y\equiv y'\pmod n. \end{cases}

Доказательство

Если координаты попарно сравнимы, то сравнимы и все клетки, поскольку каждая из них является целочисленной линейной комбинацией E,x,y. Обратно, E является центральной клеткой, x=A−E, y=G−E. Поэтому поклеточная сравнимость немедленно даёт сравнимость координат. Простота модуля не требуется.

Общая форма m(E,x,y) и её классификационное доказательство →

2. Квадраты по модулю n

Обозначим через Sq(n) полный образ отображения r↦r² в кольце ℤ/nℤ. Это определение включает нуль и применимо к составному n. Термин «квадратичный вычет» ниже будет использоваться отдельно для ненулевого класса по нечётному простому модулю.

\operatorname{Sq}(n)=\{r^2\bmod n:r\in\mathbb Z\}.

Модуль	Все квадратные классы
$3$	$\{0,1\}$
$4$	$\{0,1\}$
$5$	$\{0,1,4\}$
$8$	$\{0,1,4\}$
$24$	$\{0,1,4,9,12,16\}$

Первые четыре строки проверяются возведением полного набора классов в квадрат. Для модуля 8 можно также заметить: квадрат нечётного числа равен 1, а квадрат чётного равен 0 или 4. Набор по модулю 24 получается совместным условием по модулям 8 и 3.

3. Ограничения по модулям 4 и 3

Пусть все девять клеток целочисленного магического квадрата являются квадратами. Чтобы не смешивать центральную клетку и её корень, запишем центр как E=e²:

\mathcal M(e^2,x,y)= \begin{pmatrix} a^2&b^2&c^2\\d^2&e^2&f^2\\g^2&h^2&j^2 \end{pmatrix}.

Теорема

Для любого такого квадрата выполняется 12∣x и 12∣y.

Доказательство по модулю 4

Клетки A=e²+x и J=e²−x обе лежат в Sq(4)={0,1}. Если e²≡0, то единственный класс x, для которого одновременно x и −x квадратны, равен 0. Если e²≡1, непосредственная проверка x=0,1,2,3 снова оставляет только x=0. Следовательно, 4∣x. Пара G=e²+y, C=e²−y тем же рассуждением даёт 4∣y.

Доказательство по модулю 3

Каждая клетка сравнима с 0 или 1. Сумма любой строки равна 3e²≡0. Три элемента множества {0,1} имеют сумму 0 по модулю 3 только тогда, когда они все равны 0 или все равны 1. Значит, каждая строка одноцветна по признаку делимости на 3. То же условие на столбцы заставляет все три строки иметь один цвет: весь квадрат состоит либо из нулей, либо из единиц по модулю 3. В частности, A≡E≡G, откуда 3∣x и 3∣y.

Так как 3 и 4 взаимно просты, получаем 12∣x,y. Это необходимое условие; обратное утверждение неверно.

4. Примитивный квадрат и модуль 24

Назовём целочисленный квадрат примитивным, если НОД его девяти клеток равен 1. Для магического квадрата это равносильно gcd(E,x,y)=1.

Теорема

Если примитивный магический квадрат состоит из девяти целых квадратов, то gcd(e,6)=1, все его клетки сравнимы с 1 по модулю 24 и 24∣x,y.

Доказательство

Если e чётно, то e², x и y делятся на 4, следовательно, все девять клеток делятся на 4 — противоречие с примитивностью. Если 3∣e, то по доказанному выше все клетки делятся на 3; поскольку они являются квадратами, на самом деле каждая делится на 9. Снова получаем противоречие. Поэтому e взаимно просто с 6.

Уже известно, что x,y делятся на 12, поэтому каждая клетка сравнима с e² по модулю 12. Следовательно, корень каждой клетки нечётен и не делится на 3. Квадрат любого числа, взаимно простого с 6, сравним с 1 по модулю 24. Значит, все клетки равны 1 mod 24. Наконец, x=A−E и y=G−E являются разностями двух таких клеток, поэтому делятся на 24.

\mathcal M(e^2,x,y)\equiv \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\pmod{24}, \qquad x\equiv y\equiv0\pmod{24}.

5. Точная классификация по модулю 5

По модулю 5 квадраты равны 0, 1 или 4. Полный перебор классов имеет короткую ручную форму и даёт ровно девять допустимых троек:

\begin{aligned} \mathcal F_5={}&\{(e,0,0):e\in\mathbb Z/5\mathbb Z\}\\ &\cup\{(0,1,0),(0,-1,0),(0,0,1),(0,0,-1)\}. \end{aligned}

Доказательство полноты списка

Если e≠0, то e² равно 1 или 4. Для каждого из этих двух значений условие e²+x,e²−x∈{0,1,4} допускает только x=0; пара e²±y аналогично даёт y=0. Если e=0, противоположные пары дают x,y∈{0,±1}. Подстановка в четыре боковые клетки e²±x±y исключает случай, когда x и y одновременно ненулевые. Остаются (0,0), (±1,0), (0,±1), и все они действительно дают только квадратные классы. Список необходим и достаточен по модулю 5.

В примитивном случае класс (0,0,0) при e≡0 невозможен: тогда все квадратные клетки делятся на 25. Поэтому либо 5∤e и 5∣x,y, либо 5∣e и ровно одна из координат x,y сравнима с ±1, а другая с 0 по модулю 5.

6. Квадратичные вычеты по простому модулю

Пусть p — нечётное простое и p∤a. Символ Лежандра (a/p) равен 1, если a является ненулевым квадратом по модулю p, и −1 в противном случае. Критерий Эйлера одновременно доказывает мультипликативность:

\left(\frac ap\right)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p, \qquad \left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right).

Доказательство критерия Эйлера

По малой теореме Ферма число a^((p−1)/2) является корнем уравнения z²=1, то есть равно ±1. Каждый ненулевой квадрат a=b² даёт значение b^(p−1)=1. Таких квадратных классов ровно (p−1)/2, а многочлен X^((p−1)/2)−1 имеет не более (p−1)/2 корней. Следовательно, его корни — в точности ненулевые квадраты; на остальных классах значение равно −1. Формула для произведения следует возведением ab в ту же степень.

Дополнительные законы для −1 и 2

\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}, \qquad \left(\frac2p\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.

Первый закон непосредственно следует из критерия Эйлера. Для второго применим лемму Гаусса к числу 2. Среди чисел 2,4,…,p−1 количество N наименьших положительных представителей, превышающих p/2, равно (p−1)/2−⌊p/4⌋. Замена этих представителей на отрицательные переставляет абсолютные значения 1,…,(p−1)/2, поэтому после сокращения факториала получаем (2/p)=(−1)ᴺ. Для p≡1,3,5,7 mod 8 число N соответственно чётно, нечётно, нечётно, чётно, что и даёт формулу.

7. Простые делители угловой клетки

Теорема

Пусть примитивный магический квадрат состоит из девяти целых квадратов. Если простой q≡3 mod 4 делит корень угловой клетки, то q≡7 mod 8. В частности, простой q≡3 mod 8 не может делить корень угловой клетки.

Доказательство

Поворотом можно считать этой клеткой A=a². Из общей формы следует f²+h²=2a². Пусть q∣a и q≡3 mod 4. Тогда −1 не является квадратичным вычетом по модулю q. Из f²+h²≡0 следует q∣f и q∣h: иначе отношение f/h или h/f дало бы квадратный корень из −1.

Сравнения A=e²+x≡0 и F=e²+x+y≡0 дают y≡0 и x≡−e². Поэтому весь квадрат имеет следующий вид по модулю q:

\begin{pmatrix} a^2&b^2&c^2\\d^2&e^2&f^2\\g^2&h^2&j^2 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0&2e^2&e^2\\2e^2&e^2&0\\e^2&0&2e^2 \end{pmatrix}\pmod q.

Если q∣e, то все девять квадратов делятся на q², что противоречит примитивности. Значит, e обратим по модулю q. Поскольку 2e² является квадратом, число 2 — квадратичный вычет: (2/q)=1. Дополнительный закон оставляет q≡1 или 7 mod 8; вместе с q≡3 mod 4 остаётся только q≡7 mod 8.

8. Что эти условия не доказывают

Все полученные сравнения являются необходимыми локальными условиями. Они быстро исключают невозможные координаты и факторизации, но не строят рациональную или целочисленную точку исходной системы. Даже совместная разрешимость по многим модулям сама по себе не является доказательством существования квадратного квадрата.

Следующий арифметический слой — представления числа суммой двух квадратов и факторизация в ℤ[i]. Именно там локальные ограничения на простые делители превращаются в конструктивные нормы.

Проверить координаты в калькуляторе ↗К оглавлению теории