Алгебра матричного умножения · 4.2

Блочная структура и расщеплённые кватернионы

Равенство сумм строк и столбцов выделяет в трёхмерном пространстве инвариантную прямую и дополнительную плоскость. Это разложение раскрывает внутреннее устройство пятимерной алгебры полумагических матриц и приводит к явной модели её четырёхмерного идеала как расщеплённой кватернионной алгебры.

1. Структурная задача

Пусть K — поле характеристики, отличной от 2 и 3, а SM₃(K) — алгебра полумагических матриц 3×3. По предыдущей статье каждый её элемент единственным образом записывается как S(E,x,y,z,w), поэтому dim SM₃(K)=5. Чтобы понять умножение в этой алгебре, отделим направление, отвечающее за общую сумму строк и столбцов, от преобразования на подпространстве нулевой суммы.

Структурная теорема

\operatorname{SM}_3(K)\cong K\oplus M_2(K) \cong K\oplus\mathbb H_{\mathrm{split}}(K).

Четырёхмерное слагаемое состоит ровно из полумагических матриц с нулевой общей суммой. Именно оно является расщеплённой кватернионной алгеброй.

Одномерное слагаемое хранит общую сумму, а вся нетривиальная некоммутативная структура сосредоточена в четырёхмерном слагаемом. Следующие разделы выводят это разложение и затем строят в четырёхмерном идеале кватернионный базис.

2. Инвариантная прямая и плоскость нулевой суммы

Обозначим через e=(1,1,1)ᵀ и рассмотрим плоскость W в K³, состоящую из векторов с нулевой суммой координат:

L=K\mathbf e,\qquad W=\{(a,b,c)^{\mathsf T}\in K^3:a+b+c=0\}.

Если у полумагической матрицы A общая сумма строк и столбцов равна T, то

A\mathbf e=T\mathbf e,\qquad \mathbf e^{\mathsf T}A=T\mathbf e^{\mathsf T}.

Первое равенство делает L инвариантной прямой. Из второго для любого v∈W следует eᵀAv=T eᵀv=0, поэтому W тоже инвариантна. В базисе

\mathbf e=(1,1,1)^{\mathsf T},\qquad u=(1,-1,0)^{\mathsf T},\qquad v=(1,0,-1)^{\mathsf T}

матрица A имеет блочно-диагональный вид

[A]_{(\mathbf e,u,v)} = \begin{pmatrix} T&0\\ 0&B \end{pmatrix}, \qquad B\in M_2(K).

Обратно, произвольная пара (T,B) задаёт такой оператор и после возвращения к стандартному базису даёт полумагическую матрицу. Определитель матрицы перехода равен 3, поэтому для этого доказательства достаточно, чтобы 3 было обратимо. При умножении блоки перемножаются независимо:

(T_1,B_1)(T_2,B_2)=(T_1T_2,B_1B_2).

Положение относительно общей теории

Блочное представление матриц с постоянной суммой и соответствующее разложение алгебры являются общей теорией и не заявляются здесь как новый результат проекта. Для нашего исследования существенно записать этот изоморфизм явно в координатах S(E,x,y,z,w) и выбрать кватернионный базис, согласованный с магической и чарующей компонентами.

3. Координатная форма изоморфизма

Для A=S(E,x,y,z,w) скалярный блок равен общей сумме T=3E, а ограничение A|W в базисе (u,v) имеет матрицу

B(x,y,z,w)= \begin{pmatrix} 3z+3w+x+y&2x+2y\\ -3w+x-2y&3z-3w-x-y \end{pmatrix}.

Тем самым структурный изоморфизм задаётся формулой

\Phi\bigl(S(E,x,y,z,w)\bigr) =\bigl(3E,B(x,y,z,w)\bigr).

Для доказательства биективности выпишем обратное отображение. Если B имеет клетки a,b,c,d в порядке строк, то все пять координат восстанавливаются однозначно:

\begin{aligned} E&=\frac{T}{3},& z&=\frac{a+d}{6},& w&=\frac{a-d-b}{6},\\ x&=\frac{a-d+b+2c}{6},& y&=\frac{-a+d+2b-2c}{6}. \end{aligned}

Подстановка этих выражений в B возвращает a,b,c,d. Следовательно, Φ биективно и, поскольку ограничение произведения равно произведению ограничений, является изоморфизмом алгебр.

4. Два центральных идемпотента

Пусть J — матрица из единиц. Введём

H=\frac13J=M\left(\frac13,0,0\right), \qquad Q=I_3-H=C\left(0,\frac13,0\right).

Прямое умножение даёт

H^2=H,\qquad Q^2=Q,\qquad HQ=QH=0,\qquad H+Q=I_3.

Матрица H является единицей одномерного скалярного идеала KH. Матрица Q имеет нулевые суммы строк и столбцов и является внутренней единицей четырёхмерного идеала

\mathcal I_0 =\{S(0,x,y,z,w):x,y,z,w\in K\}.

Важно различать две единицы: единица всей алгебры — I₃=H+Q, а элемент, который будет обозначен 1 в кватернионном базисе идеала, — это Q.

5. Явный базис 1,i,j,k

В идеале 𝓘₀ выберем четыре матрицы:

\mathbf 1_0=Q

\frac13\begin{pmatrix} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2 \end{pmatrix}

i=C(0,0,\frac13)

\frac13\begin{pmatrix} -1&-1&2\\-1&2&-1\\2&-1&-1 \end{pmatrix}

j=M(0,\frac23,\frac13)

\frac13\begin{pmatrix} 2&-1&-1\\-3&0&3\\1&1&-2 \end{pmatrix}

k=M(0,\frac13,\frac23)

\frac13\begin{pmatrix} 1&1&-2\\-3&0&3\\2&-1&-1 \end{pmatrix}

Их таблица умножения имеет вид

·	$\mathbf1_0$	$i$	$j$	$k$
$\mathbf1_0$	$\mathbf1_0$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$\mathbf1_0$	$k$	$j$
$j$	$j$	$-k$	$\mathbf1_0$	$-i$
$k$	$k$	$-j$	$i$	$-\mathbf1_0$

В частности,

i^2=j^2=\mathbf1_0,\qquad ij=-ji=k,\qquad k^2=-\mathbf1_0.

Это кватернионная алгебра (1,1) над K, которая расщеплена и изоморфна M₂(K). При этом 1₀ и i являются чарующими, а j и k — магическими квадратами. Поэтому уже доказанное разложение

\mathcal I_0 =\operatorname{span}\{\mathbf1_0,i\} \oplus \operatorname{span}\{j,k\}

совпадает с чётно-нечётной градуировкой расщеплённых кватернионов. Четыре закона CC→C, CM→M, MC→M, MM→C являются ровно таблицей умножения её чётной и нечётной частей.

6. Расщеплённая кватернионная алгебра

Полученная таблица задаёт расщеплённую, а не делительную кватернионную алгебру. Над ℝ кватернионы Гамильтона удовлетворяют i²=j²=k²=−1 и образуют алгебру с делением, тогда как здесь два генератора имеют квадрат +1. Кроме того,

(\mathbf1_0+i)(\mathbf1_0-i) =\mathbf1_0-i^2=0,

хотя оба множителя ненулевые. Значит, 𝓘₀ содержит делители нуля и не может быть изоморфен ℍ. Название «расщеплённые» как раз означает, что кватернионная алгебра изоморфна полной матричной алгебре M₂(K), а не алгебре с делением.

7. Координаты и расщеплённая норма

Каждый элемент идеала единственным образом записывается как

S(0,x,y,z,w) =\alpha\mathbf1_0+\beta i+\gamma j+\delta k,

где переход между двумя системами координат задаётся формулами

\alpha=3z,\qquad \beta=3w,\qquad \gamma=2x-y,\qquad \delta=2y-x.

Кватернионное сопряжение меняет знаки у i,j,k. Соответствующая приведённая норма равна

N_{\mathrm{split}} (\alpha+\beta i+\gamma j+\delta k) =\alpha^2-\beta^2-\gamma^2+\delta^2.

После подстановки наших координат получаем

N_{\mathrm{split}} =3\bigl(3z^2-3w^2-x^2+y^2\bigr) =\det B(x,y,z,w).

Поэтому определитель исходной матрицы раскладывается на определители двух блоков:

\det S(E,x,y,z,w) =(3E)\det B =9E\bigl(3z^2-3w^2-x^2+y^2\bigr).

Следовательно, определитель полумагической матрицы имеет точный структурный смысл: это произведение нормы одномерного блока на приведённую норму расщеплённого кватерниона.

8. Центр, идеалы и границы утверждения

Поскольку центр M₂(K) состоит из скалярных матриц, центр всей полумагической алгебры двумерен:

Z(\operatorname{SM}_3(K)) =KH\oplus KQ.

Так как M₂(K) — простая алгебра, двусторонних идеалов над полем ровно четыре:

0,\qquad KH,\qquad \mathcal I_0,\qquad \operatorname{SM}_3(K).

Абстрактное блочное разложение требует только обратимости 3. Однако используемые на сайте координаты M,C,S и обычная кватернионная запись с антикоммутацией рассматриваются здесь при char K≠2,3.

Над ℚ и ℝ все приведённые формулы дают буквальный изоморфизм. Над ℤ матрицы H и Q содержат знаменатель 3 и не принадлежат целочисленной полумагической решётке. Поэтому целочисленная алгебра является решёткой внутри ℚ⊕M₂(ℚ), но не распадается тем же способом как прямое произведение ℤ-алгебр. Это различие будет предметом отдельной статьи.

← Магические и чарующие компоненты К оглавлению циклов →